Omotopia $C^1$ tra curve smooth

[killing_buddha]

Se $M$ è una varietà differenziale, e si prendono due curve $C^\infty$ di stessi estremi, omotope tra loro, può esserci tra loro una omotopia che è solo $C^{<\infty}$ (diciamo C1, per dire), o devono essere tutte lisce quanto le curve?

In realtà, però, non era questa la domanda. La domanda era:

Se $M$ è una varietà differenziale, e si prendono due curve $C^\infty$ di stessi estremi, omotope tra loro mediante una omotopia $C^\infty$, può [il differenziale del]l'omotopia in questione avere rango minore di 2?

[dissonance]

Se c'è una omotopia anche solo continua ce n'è automaticamente anche una \(C^\infty\). Vedi un po' se questo ti aiuta:

https://math.stackexchange.com/a/44330/8157

[killing_buddha]

Mi è stata fatta questa domanda ieri, in un momento in cui non avevo modo di pensarci, e ho deciso di postarla qui; del resto ho frainteso ciò che mi era stato chiesto. Ora edito il posto originale.

In ogni caso, la domanda precedente non era "posso trovare sempre una omotopia smooth a testimoniare che \(F\simeq g\)?" quanto piuttosto "è vero che tutte le omotopie tra cammini smooth sono della stessa liscezza dei suddetti cammini?"
La mia sensazione era "ovviamente no".