Equazione differenziale alle derivate parziali a variabili separabili.

[lo92muse]

Buongiorno a tutti.
Mi trovo a dover affrontare questo problema (PDE da risolvere con il metodo della separazione delle variabili).

${ ( (partial^2 u)/(partial t^2)-(partial^2 u)/(partial x^2) =0 ),( u(x,0)=x(pi^2-x^2 )),( (partialu)/(partial t)(x,0)=3cos(3/2 x) ),( u(-pi,t)=u(pi,t)=0 ):}$

Con $x \in (-pi,pi)$ e $t\ge0$.

Ho iniziato a cercare le soluzioni nella forma:

$U(x,t)=X(x)T(t)$

Ed imponendo le condizioni al contorno fornite ottengo:

$U(-pi,t)=X(-pi)T(t)=0$

$U(pi,t)=X(pi)T(t)=0$

Ovviamente, per evitare la soluzione banale ($T(t)=0$), applicando la legge di annullamento del prodotto ottengo:

$X(-pi)=X(pi)=0$

Ora che ho trovato le condizioni di compatibilità con i dati del probema procedo formalmente alla separazione delle variabili, imponendo:

$X^{''}/X=T^{''}/T=lambda$

Dunque, ricollegandoci al risultato precedente:

${ ( X''-lambda X=0 ),( X(-pi)=X(pi)=0 ):}$

Ora assumo che questa equazione differenziale ammetta soluzione, per $lambda=-alpha^{2}<0$ (con $lambda$ definito in questo modo per avere più ordine nei passaggi):

$X(x)=acos(alpha x)+bsin(alpha x)$ con $a$ e $b$ $\in \mathbb R$ costanti da determinare.

Qui arrivano i problemi.
Applico le condizioni iniziali:

$X(pi)=acos(alpha pi)+bsin(alpha pi)=0$
$X(-pi)=acos(-alpha pi)+bsin(-alpha pi)=0$

Ora, l'unica soluzione possibile è $a=b=0$ per soddisfare entrambe le uguaglianze. Quindi questo caso non mi fornisce informazioni utili.

Mi restano da valutare i casi:

$lambda=alpha^{2}>0$
$\lambda=alpha^{2}=0$

Dalla teoria ho imparato che il caso $lambda=alpha^{2}>0$ di norma non fornisce una soluzione al problema.

Mi resta quindi l'ultimo caso:

$X(pi)=a+bpi=0$
$X(-pi)=a-bpi=0$

Che mi fornisce sempre $a=b=0$.

Proseguendo, anche la parte temporale ipotizzo avrà un aspetto del tutto simile essendo anch'essa espressa tramite una equazione differenziale del secondo ordine.

A qaunto pare non riesco ad uscirne con queste condizioni al contorno. Cosa ne pensate? Sto sbagliando/dimenticando qualcosa nel mio modo di ragionare? Un grazie a tutti quelli che spenderanno qualche minuto del loro tempo per aiutarmi. .

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di un classico, la corda vibrante fissata agli estremi. Se i dati iniziali:

$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)$

$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)$

fossero entrambi dispari, la risoluzione sarebbe più agevole. Infatti:

$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$

$rarr \{((del^2u_n)/(delt^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)),((del^2u_n)/(delx^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)):} rarr [(del^2u_n)/(delt^2)-(del^2u_n)/(delx^2)=0]$

Inoltre:

$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$

$rarr u_n(-\pi,t)=u_n(\pi,t)=0$

In definitiva:

$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)$

Tuttavia, imponendo i dati iniziali:

$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(nx)$

$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}nB_nsin(nx)$

la seconda condizione, essendo il primo membro una funzione pari, non può essere soddisfatta. Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo $[0,2\pi]$ mediante una traslazione verso destra di $\pi$:

$\{((del^2u)/(delt^2)-(del^2u)/(delx^2)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$

$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$

$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$

$(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)$

[lo92muse]

Si tratta di un classico, la corda vibrante fissata agli estremi. Se i dati iniziali:

$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)$

$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)$

fossero entrambi dispari, la risoluzione sarebbe più agevole. Infatti:

$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$

$rarr \{((del^2u_n)/(delt^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)),((del^2u_n)/(delx^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)):} rarr [(del^2u_n)/(delt^2)-(del^2u_n)/(delx^2)=0]$

Inoltre:

$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$

$rarr u_n(-\pi,t)=u_n(\pi,t)=0$

In definitiva:

$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)$

Tuttavia, imponendo i dati iniziali:

$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(nx)$

$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}nB_nsin(nx)$

la seconda condizione, essendo il primo membro una funzione pari, non può essere soddisfatta. Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo $[0,2\pi]$ mediante una traslazione verso destra di $\pi$:

$\{((del^2u)/(delt^2)-(del^2u)/(delx^2)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$

$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$

$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$

$(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)$

Grazie mille per la risposta e buona domenica.

Ho capito il ragionamento utilizzato, non pensavo di dover avere l'idea di "traslare" le condizioni iniziali del problema di $pi$.

Inoltre vorrei chiederti se gentilmente mi potresti indicare come hai ricalcolato $u(x,0)=x(pi-x^2)$ in $u(x,0)=-x(x-pi)(x-2pi)$.

Ti ringrazio davvero per la disponibilità e l'aiuto. A presto .

[Vulplasir]

Non vedo perché si debba trasferire il problema da (-pi,pi) a (0,2pi), la condizione $u(-pi)=u(pi)=0$ è soddisfatta per $alpha=(2n+1)/2$

[anonymous_0b37e9]

Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo ...

Non vedo perché si debba trasferire il problema da ...

In effetti, non si tratta di una vera e propria necessità. Tuttavia, senza traslare, ho l'impressione che le cose si complichino. Infatti, separando le variabili:

$[u_(t t)-u_(x x)=0] ^^ [u(x,t)=X(x)T(t)] rarr$

$rarr [1/X(d^2X)/(dx^2)=1/T(d^2T)/(dt^2)=-k^2] ^^ [k in RR] rarr$

$rarr [(d^2X)/(dx^2)+k^2X=0] ^^ [(d^2T)/(dt^2)+k^2T=0] rarr$

$rarr [X(x)=A_kcoskx+B_ksinkx] ^^ [T(t)=C_kcoskt+D_ksinkt]$

e imponendo le condizioni al contorno:

$\{(X(-\pi)=0),(X(\pi)=0):} rarr \{(A_kcosk\pi-B_ksink\pi=0),(A_kcosk\pi+B_ksink\pi=0):}$

il sistema ammette soluzione diversa da quella nulla se e solo se:

$[2sink\picosk\pi=0] rarr [sin2k\pi=0] rarr [2k\pi=n\pi] rarr [k=n/2]$

e considerando la prima equazione:

$[A_ncos(n/2\pi)-B_nsin(n/2\pi)=0] rarr $[n pari: $A_n=0] vv $[n dispari: $B_n=0]$

[Vulplasir]

A me risulta così:

$X(x)=acos(alphax)+bsin(alphax)$

Le condizioni ai bordi $X(pi)=X(-pi)=0$ ammettono soluzioni non nulle per:

$alpha=n$, che restituisce $X(x)=bsin(nx)$, che non va bene per quanto detto da te all'inizio

Oppure:

$alpha=(2n+1)/2$, che restituisce $X(x)=acos((2n+1)/2x)$, per n=0,1...

[anonymous_0b37e9]

Ciao Vulplasir. Stai seguendo il procedimento di lo92muse? Te lo chiedo perché non l'ho controllato.

[Vulplasir]

Il procedimento è lo stesso che hai seguito tu, solo che quando dici:

il sistema ammette soluzione diversa da quella nulla se e solo se:

$[2sinkπcoskπ=0]→[sin2kπ=0]→[2kπ=nπ]→[k=n/2]$

Mi pare che non sia così. Il sistema ammette soluzione non nulla se e solo se:

$k=n$ oppure $k=(2n+1)/2$, Scegliendo k=n si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sumnA_nsin(nx)$ impossibile per quanto detto da te, scegliendo $k=(2n+1)/2$ si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sum(2n+1)/2A_ncos((2n+1)/2x)$

Che restituisce $A_1=2$, $A_n=0$ per tutti gli altri n

[anonymous_0b37e9]

Probabilmente mi sto perdendo qualcosa, ma quando ho scritto:

$[2sinkπcoskπ=0]→[sin2kπ=0]→[2kπ=nπ]→[k=n/2]$

a me sembrano le tue stesse soluzioni con notazione diversa. Ad ogni modo, se così non fosse, non puoi esprimere il primo dato iniziale, la funzione dispari per intenderci.

[Vulplasir]

Aspetta, mi salgono molti dubbi su questo problema. Lasciamo stare per un attimo quello che ho detto io fin'ora. Tu all'inizio dici che in (-pi,pi) non si può soddisfare la seconda condizione iniziale, e che per rimediare bisogna traslare il tutto di $pi$ a destra, ma facendo così non dovrebbe cambiare niente lo stesso, o no? Traslando a destra di pi, la condizione iniziale u(x,0), che prima era simmetrica rispetto a x=0, adesso diventa simmetrica rispetto a x=pi, stessa cosa per la seconda condizione e pure per le funzioni goniometriche, che mantengono inalterata la loro parità e disparità rispetto a $x=pi$ così come era rispetto a $x=0$, e quindi il problema, in ogni caso, non può soddisfare in alcun modo le condizioni iniziali. Insomma secondo me le condizioni iniziali sono incompatibili con il problema.