Serie complessa

[dissonance]

Potresti provare a sommare per parti, mi ricordo che funzionava per dimostrare la convergenza di una serie molto simile a quella, vedi qui :

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencia ... Pcavan.pdf

pagina 14 (20 nella numerazione del pdf). (E' in spagnolo, spero sia comprensibile).

[otta96]

Io avevo suggerito $\theta=e$ perché avevo visto quella serie nella parte reale e mi è venuto in mente quel limite, speravo che si riuscisse a sistemare anche la parte immaginaria, ma come dici tu quella diverge, inoltre non penso sia utile la sommazione per parti in questo caso, in realtà mi sto convincendo sempre di più che non esistono punti di norma $1$ in cui converge, ma sono ben lontano a una dimostrazione o anche solo ad un approccio.

[Covenant]

Ho chiesto aiuto da un'altra parte e mi è stata data questa risposta (è in inglese):

I don't know about a specific point where it converges, but in case it helps, the series converges at almost every boundary point.

Of course Carleson's theorem says that any $L_2$ Fourier series converges almost everywhere, but that's a stupendously deep result. The same result for lacunary series is much simpler. For example, the Fejer kernel is positive, hence has bounded $L_1$norm, which implies that any $L_2$ Fourier series is Cesaro summable almost everywhere. For a lacuary series there's a tauberian theorem: Cesaro summability at a point implies convergence at that point.

In fact your series is so lacunary that getting convergence from Cesaro summability is very simple. If $n!<m<(n+1)!$ the obvious estimates imply that:
$$|| s_mf-\sigma_{n+1}f||_{\infty}^2 \le ||f||_2^2 \sum_{k=1}^n \left| \left( \frac{k!}{(n+1)!} \right)^2 \right| \to 0 \quad \: (n \to \infty)$$

Ammetto che non mi è molto chiaro...