$BV(\Omega)$ è isomorfo a uno spazio quoziente

[Bremen000]

Sono in difficoltà con la dimostrazione del seguente teorema, la parte finale mi è incomprensibile e la spiegazione del docente a lezione è stata "si vede".

Teorema

Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) aperto e sia \( X:= C^0_0(\Omega; \mathbb{R}^{n+1}) \). Sia \( E:= \{ \phi \in X \cap C^\infty_0 (\Omega; \mathbb{R}^{n+1}) : \phi = (\phi_0, \phi_1, \dots, \phi_n ) , \phi_0 = div((\phi_1, \dots, \phi_n)) \} \) e sia $Y$ la chiusura di $E$ in $X$.

Allora \( BV(\Omega) \cong (X/Y)^{\ast} \).

dimostrazione

Sia \( T: BV(\Omega) \to X^{\ast} \) t.c. \( Tu = (u\mathcal{L}^n, (Du)_1, \dots (Du)_n) \) dove con \( \mathcal{L}^n \) indico la misura di Lebesgue $n$-dimensionale e con $(Du)_i$ indico la componente $i$-esima del gradiente distribuzionale di $u$.

Chiaramente $T$ è lineare.

Se \( Tu = (0, \dots, 0) \), allora in particolare per ogni \( \phi \in C^{\infty}_0(\Omega) \) si ha \( \int_{\Omega} u\phi =0 \) che implica $u=0$. Dunque $T$ è ingettivo.

Purtroppo $T$ non è suriettivo: è sufficiente scegliere una \( \phi \in E \) e associargli un funzionale $\Lambda$ di $X^\{ast}$ tale che $\Lambda \phi =1$ e chiaramente non c'è speranza che sia rappresentabile come $Tu$ per qualche $u \in BV(\Omega)$.

Dunque consideriamo $T: BV(\Omega) \to (X/Y)^{\ast}$ che moralmente prende valori nello spazio dei funzionali $X^{\ast}$ che hanno ker contenente $E$.

--- Qui inizia la parte fatta da me ---

Voglio mostrare che è surgettivo. Chiaramente se prendo \( \mu = (\mu_0, \mu_1, \dots, \mu_n) \in (X/Y)^{\ast} \) allora si ha che presa \( \bar{\phi} \in C^{\infty}_0(\Omega;\mathbb{R}^{n}) \) e definita \( \psi:= (div(\bar{\phi}), \bar{\phi}) \), allora \( \psi \in E \) e quindi

\[ 0= \langle \mu, \psi \rangle = \langle \mu_0, div(\bar{\phi}) \rangle + \langle (\mu_1, \dots \mu_n), \bar{\phi} \rangle \Rightarrow \langle \mu_0, div(\bar{\phi}) \rangle = - \langle (\mu_1, \dots \mu_n), \bar{\phi} \rangle \]

e dunque ogni \( \mu = (\mu_0, \mu_1, \dots, \mu_n) \in (X/Y)^{\ast} \) è in realtà della forma \( (\mu_0, D\mu_0) \).

Basta mostrare che $\mu_0$ (o meglio la sua derivata di Radon rispetto a \( \mathcal{L}^n \) ) sta in $L^1(\Omega)$.
Qua è il vuoto.

Io ho pensato che riesco a trovare una successione di \( \{u_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset C^{\infty}_0 (\Omega) \) t.c. \( u_k \to \mu_0 \) nel senso delle distribuzioni. Forse questo implica la limitatezza della norma nel senso delle misure e quindi la convergenza debole-* di una sottosuccessione nel senso delle misure. E forse da questo più il fatto che tutto è liscio si riesce a provare che il limite deve essere rappresentabile in termini di una funzione di $L^1(\Omega)$.


Qualche suggerimento?

[Bremen000]

Sostanzialmente il nocciolo della questione è il seguente:

Sia \( \mu \) una misura di Radon finita in \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) la cui derivata prima debole \(\nu \) è una misura di Radon finita, i.e.

\[ \int_{\Omega} \frac{\partial\phi}{\partial x_i} d\mu = -\int_{\Omega} \phi d \nu_i \quad \forall \phi \in C^1_c(\Omega), \quad i=1, ..., n \]

Dimostrare che esiste un'unica \( u \in BV(\Omega) \) tale che \( \mu = u\mathcal{L}^n \).


Nessuno?

[dissonance]

Siccome, per ogni \(u\in C^\infty(\mathbb R^n)\),
\[
\| u\|_{L^p(\mathbb R^n)} \le C_n (\| u\|_{L^1(\mathbb R^n)}+ \|\nabla u\|_{L^1(\mathbb R^n)}), \]
(trova tu un esponente \(p\) corretto, per favore), tale misura è il limite di una successione di Cauchy in \(L^p\).

P.S.: Non credo si capisca cosa intendo. Se \(\mu\) è la tua misura allora esiste una successione \(\mu_n\in C^\infty\) tale che \(\mu_n\to \mu\) nel senso di qualche norma delle misure (BV, TV non so come la chiamano). Ma per via dell'immersione di Sobolev, \(\mu_n\) è una funzione di classe \(L^p\), e questo passa al limite. Grosso modo questo intendo.
(sinceramente non sono 100% sicuro di questa cosa, prendi con le pinze)

In ogni caso è una cosa ovvia se pensi in modo distribuzionale. Le misure sono le distribuzioni di ordine \(0\). Quando prendi la derivata di una distribuzione, in generale l'ordine sale, a meno che la distribuzione non sia una funzione regolare. Tu stai richiedendo che la tua misura sia tale che le sue derivate non aumentino di ordine, e quindi la misura in realtà doveva essere una funzione.

[Bremen000]

Ciao dissonance, grazie mille per la risposta! Provo a pensarci e a mettere giù i dettagli e vedo cosa salta fuori, ma penso proprio che si faccia così!

In ogni caso è una cosa ovvia se pensi in modo distribuzionale.

Sono le dimostrazioni peggiori, quelle che le guardi e dici "Be' ma è ovvio" ma poi non è ovvio da dimostrare.

Tipo questo, mio cruccio per diverse ore.