[EX] Operatori lineari

[gugo82]

Esercizio:

Sia \(g \in C([0,2])\) una funzione non negativa, i.e. $g(x)>=0$ in $[0,2]$.
Posto:
\[
Gf := \int_x^{2-x} f(t)g(t)\ \text{d} t\; ,
\]
1. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^oo(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale;

2. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^1(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale.

3. Si può dire che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^p(0,2)$ in sè per ogni $1<p<oo$? In tal caso, quanto vale la sua norma?

[Delirium]

[...] 3. Si può dire che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^p(0,2)$ in sè per ogni $1<p<oo$? [...]

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I punti precedenti li faccio semmai nei prossimi giorni (o li lascio a qualcun altro ), ma questo è vero per il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz (uno dei cannoni dell'Analisi Armonica).

[gugo82]

Il calcolo è agevole in $L^oo$, mentre non mi pare semplice in $L^p$ con $1<= p < oo$... Una stima della norma me la sono fatta, ma non sono riuscito a trovare una strada decente per terminare il calcolo.
Sarebbe divertente se qualcun altro, più fresco di me, ci riuscisse.

Esercizio:

Sia \(g \in C([0,2])\) una funzione non negativa, i.e. $g(x)>=0$ in $[0,2]$.
Posto:
\[
Gf := \int_x^{2-x} f(t)g(t)\ \text{d} t\; ,
\]
1. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^oo(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale;

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In quanto segue mi serviranno alcuni risultati ausiliari circa la funzione che si ottiene trasformando $u(x):=1$ mediante l'operatore $G$: per comodità chiamo tale funzione $gamma$, cioè pongo:
\[
\gamma (x) := \int_x^{2-x} g(t)\ \text{d} t\; .
\]
Risulta:

• $gamma$ è continua in $[0,2]$, derivabile in $]0,2[$ con derivata continua fin negli estremi e $gamma (1) = 0$.
  Questo è evidente, poiché discende da proprietà elementari.
  
  
• $gamma$ è dispari rispetto al punto $1$, i.e. $\gamma (2-x) = -\gamma (x)$.
  Difatti fissato $0<= x <= 2$ ho:
  \[
  \begin{split}
  \gamma (2-x) &= \int_{2-x}^{2-(2-x)} g(t)\ \text{d} t\\
  &= \int_{2-x}^x g(t)\ \text{d} t
  &= -\gamma (x)\; .
  \end{split}
  \]
  [Oppure: dato che $gamma (x) = \int_x^1 g(t) " d"t + \int_1^(2-x) g(t) " d" t = int_x^1 g(t)" d"t - \int_1^x g(2-t) " d"t = \int_x^1 [g(t) + g(2-t)]" d"t$, $gamma$ è l'integrale con estremo fisso in $1$ della parte pari di $g$ rispetto a $1$ e da qui si conclude.]
  
  
• $gamma$ è decrescente in $[0,2]$.
  Invero, fissati $0<= x_1 < x_2 <=1$ risulta:
  \[
  [x_2,2-x_2] \subset [x_1,2-x_1] \qquad \Rightarrow \qquad \gamma (x_1) = \int_{x_1}^{2-x_1} g(t)\ \text{d} t \geq \int_{x_2}^{2-x_2} g(t)\ \text{d} t = \gamma (x_2)
  \]
  per proprietà elementari dell'integrale e, per simmetria, la cosa vale anche per $1<= x_1<x_2<=2$; d'altro canto, dato che per $0<= x_1 <= 1 <= x_2 <=2$ si ha $g(x_1)>= g(1)=0 >= g(x_2)$, la decrescenza è mantenuta in tutto $[0,2]$.
  
  
• \(\max_{0\leq x \leq 2} \gamma(x) = \gamma (0) = \| g\|_1\) e \(\min_{0 \leq x \leq 2} g(x) = g(2) = - \|g\|_1\).

A ben vedere, poi, capisco che le proprietà elencate valgono (con le minime modifiche del caso per quanto riguarda le proprietà di derivabilità) per ogni funzione del tipo \(\kappa (x):= \int_x^{2-x} k(t) \text{d} t\) con $k in L^1(0,2)$ e $k>= 0$ q.o. in $[0,2]$.

Detto ciò... Comincio a provare quanto richiesto.
Innanzitutto, per ogni $f in L^oo$ ho:
\[
\begin{split}
\left| Gf(x)\right| &= \left| \int_x^{2-x} f(t)\ g(t)\ \text{d} t\right| \\
&\leq \left| \int_x^{2-x} \big|f(t)\big| \ g(t)\ \text{d} t\right| \\
&\leq \|f\|_\infty\ \left| \gamma (x) \right|\\
&\leq \| f\|_\infty\ \| \gamma \|_\infty \\
&= \| f\|_\infty\ \| g \|_1
\end{split}
\]
per ogni $x\in [0,2]$, ergo $Gf in L^oo$ e \(\|Gf\|_\infty \leq \|g\|_1\| f\|_\infty\).
Per amor di precisione, si può dire qualcosa in più: infatti, dato che $f in L^oo \Rightarrow f in L^1$, ho anche $f g in L^1$ e, per noti fatti circa l'integrale di Lebesgue, $Gf$ è assolutamente continua in $[0,2]$.
Da ciò segue che $G$ è ben definito e mappa $L^oo$ su un suo sottospazio proprio.

Che l'operatore $G$ sia lineare è evidente conseguenza delle proprietà dell'integrale di Lebesgue.
Dunque $G$ è lineare e limitato, i.e. continuo, da $L^oo$ in sé.

Andiamo a calcolare \(\| G\|_{\text{op}}\). Evidentemente, i contarielli svolti prima implicano:
\[
\|G\|_{\text{op}} := \sup_{f \in L^\infty, f\neq 0} \frac{\| Gf\|_\infty}{\| f\|_\infty} \leq \|g\|_1\; ;
\]
voglio provare che in effetti sussiste l'uguaglianza. Ma ciò è molto facile: infatti, prendendo $f=u$ (con $u$ definita all'inizio), trovo:
\[
\begin{split}
|Gu(x)| = |\gamma (x)|\qquad &\Rightarrow \qquad \|Gu\|_\infty = \|\gamma\|_\infty = \| g\|_1 = \|g\|_1\ \|u\|_\infty\\
&\Rightarrow \qquad \frac{\|Gu\|_\infty}{\| u\|_\infty} = \| g\|_1\; .
\end{split}
\]

2. provare che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^1(0,2)$ in sè e calcolarne la norma operatoriale.

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Fissata $f\in L^1$, come sopra, risulta $fg in L^1$ e perciò $Gf$ è assolutamente continua in $[0,2]$; pertanto $G$ mappa $L^1$ in un suo sottospazio proprio.
La linearità di $G$ la ottengo come sopra.

Studio la continuità, i.e. la limitatezza. Per ogni $f in L^1$ ho:
\[
\begin{split}
|Gf(x)| &= \left| \int_x^{2-x} f(t)\ g(t)\ \text{d} t\right| \\
&\leq \left| \int_x^{2-x} \big| f(t)\big|\ g(t)\ \text{d} t\right| \\
&\leq \| g\|_\infty\ \| f\|_1
\end{split}
\]
per ogni $x in [0,2]$, quindi:
\[
\| Gf\|_1 \leq \int_0^2 \| g\|_\infty\ \| f\|_1\ \text{d} x = 2\ \| g\|_\infty\ \| f\|_1\; ;
\]
da ciò traggo la stima:
\[
\| G\|_{\text{op}} \leq 2\ \| g\|_1\; .
\]

Sarebbe carino se in realtà valesse l'uguaglianza, i.e. se \( \| G\|_{\text{op}} \leq 2\ \| g\|_1\)... Però non lo riesco a provare.

3. Si può dire che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^p(0,2)$ in sè per ogni $1<p<oo$? In tal caso, quanto vale la sua norma?

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Ragionando come sopra, si vede che $G$ è lineare e che mappa $L^p$ su un suo sottospazio proprio.

Studio la limitatezza. Per comodità chiamo \(p^\prime\) l'esponente coniugato di $p$, cioè \(p^\prime = \frac{p}{p-1}\). Sfruttando la monotonia della potenza, le proprietà delle particolari funzioni integrali viste all'inizio e la disuguaglianza di Hölder, ottengo:
\[
\begin{split}
| Gf(x)|^p &= \left| \int_x^{2-x} f(t)\ g(t)\ \text{d} t\right|^p\\
&\leq \left| \int_x^{2-x} \big| f(t)\big| \ g(t)\ \text{d} t\right|^p\\
&\leq \left| \int_0^2 \big| f(t)\big| \ g(t)\ \text{d} t\right|^p\\
&\leq \left| \| f\|_p\ \| g\|_{p^\prime}\right|^p\\
&= \| f\|_p^p\ \| g\|_{p^\prime}^p
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\| Gf\|_p &= \left( \int_0^2 |Gf(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}\\
&\leq \left( \int_0^2 \| f\|_p^p\ \| g\|_{p^\prime}^p\ \text{d} x\right)^{1/p}\\
&= 2^{1/p}\ \| g\|_{p^\prime}\ \| f\|_p
\end{split}
\]
da cui la stima:
\[
\| G\|_{\text{op}} \leq 2^{1/p}\ \| g\|_{p^\prime}
\]
che ben si accorda con le precedenti.

Anche in questo caso mi piacerebbe riuscire a provare che vale l'uguaglianza... Ma finora non ci sono riuscito.

A voi la palla, baldi giovani.

[gugo82]

[...] 3. Si può dire che $G$ è un operatore lineare continuo di $L^p(0,2)$ in sè per ogni $1<p<oo$? [...]

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I punti precedenti li faccio semmai nei prossimi giorni (o li lascio a qualcun altro ), ma questo è vero per il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz (uno dei cannoni dell'Analisi Armonica).

Parete grande, pennello grande...