Maggiore generalità dell'integrale secondo Lebesgue

[ospiteee]

L'esempio che solitamente si fa per evidenziare l'esistenza di funzioni integrabili secondo Lebesgue ma non secondo Riemann è la funzione di Dirichlet. Si tratta però di una funzione che è quasi ovunque uguale a una funzione Riemann-integrabile. La maggiore generalità dell'integrale secondo Lebesgue si ferma qui? Oppure esistono delle funzioni Lebesgue-integrabili che non siano quasi ovunque uguali ad una funzione Riemann-integrabile?

[otta96]

Considera che le funzioni caratteristiche degli insiemi misurabili sono misurabili (integrabili) e se l'insieme ha misura finita la funzione è sommabile.
Quindi la funzione caratteristica $f$ del fat Cantor set è integrabile secondo Lebesgue, in generale un funzione caratteristica di un insieme è discontinua nella sua frontiera, in questo caso l'insieme è uguale alla sua frontiera e una funzione quasi ovunque uguale a $f$ sarà discontinua almeno nei punti in cui lo è $f$ perché modificando $f$ solo su un insieme di misura nulla i punti dell'insieme saranno di accumulazione sia per $f^(-1)(0)$ che di $f^(-1)(1)$, quindi la nuova funzione non è integrabile secondo Riemann per il teorema di Vitali-Lebesgue.

[ospiteee]

Credo di aver capito ma ti chiedo un'ultima cosa per averne la conferma: prendiamo il fat Cantor set e non il "classico" insieme ternario per avere un insieme di misura non nulla (altrimenti $f$ sarebbe q.o. uguale a 0), giusto?

[otta96]

Lo avevo messo il link alla pagina di Wikipedia, ma non me lo prendeva, prova a cercare su google "fat Cantor set" o "Smith-Volterra-Cantor set" se non lo conosci.
Comunque si, si considera quello perché ha misura positiva, altrimenti sarebbe quasi ovunque uguale a $0$.

[ospiteee]

Tutto chiaro ora! Non penso che ci sarei mai arrivato da solo... Grazie mille