Rappresentazione integraledi Cauchy

[saretta:)]

Ho bisogno del vostro aiuto, ancora una volta, dopo molto tempo



Mi sembra di non capire la situazione grafica, infatti, non capisco perchése z appartiene al cammino di integrazione vi sia una singolarità.
La mia idea è che perché succeda questo è che z' sia sulla curva. Però a questo punto se z' appartiene alla curva su cui integro (che tornerebbe anche con l'integrale di linea) non capisco l'osservazione 3), infatti come potrebbe avere una singolarità z'=z? z abbiamo detto non appartenere mai al cammino di integrazione e sono interni alla curva, e z' è sulla frontiera.
Non riesco a capire le tre osservazioni, spero tanto in un vostro proficuo aiuto.

PS: analitica è usata come sinonimo di olomorfa dalla professoressa in questo caso.

Grazie

[gugo82]

Guarda che $z’$ è la variabile da cui dipende l’integrando $phi(z’;z) := (f(z’))/(z’-z)$, il quale è definito in $E’:= E\setminus \{z\}$ ed ha in $z$ una singolarità isolata in ogni caso.
Ora, se $gamma$ è contenuta in $E$, si può avere (fatti un disegno):

• $S subseteq E’$ (esattamente quando $z$ è esterno a $gamma$) ed in tal caso l’integrale di $phi(z’;z)$ è nullo per il teorema integrale di Cauchy;
  
  
• oppure $z in S$ (esattamente quando $z$ è interno a $gamma$) ed in tal caso $phi(z’;z)$ ha una singolarità interna al cammino di integrazione;
  
  
• oppure $z in gamma$ ed in tal caso l’integrale di linea non ha senso perché la curva passa per un punto singolare dell’integrando.