Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda MrChopin » 12/02/2019, 12:04

Salve a tutti ho a che fare con un semplice esercizio di analisi complessa e ho un dubbio e volevo sapere se il mio modo di risolvere il problema fosse teoricamente valido, so già anche io che il mio metodo è stupido perché inutilmente complesso ma volevo capire se fosse valido teoricamente per solo una questione di curiosità.

Questo è il mio esercizio come credo che debba essere risolto in maniera praticamente più semplice poi dopo metto l'altro:

$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz $

Quindi studio il dominio e faccio la norma euclidea:
$ root()((x+pi)^(2)+(y)^(2))=4pi; $ $ root()(x^(2)+2xpi+pi^(2)+y^(2))=4pi;$ $ x^(2)+2xpi +y^(2)=15pi^(2);$
Quindi ottengo una circonferenza di centro e raggio: $ C=(-pi,0) $ e $ r=4pi $
So che $ tan(z) $ lo posso scrivere come $ (sen(z))/(cos(z)) $ ho che $ cos(z) $ avrà poli in $ (pi/2) +kpi $

Quindi ho che ha poli semplici: per $ k=0rArr pi/2 $ interno alla circonferenza $ k=1rArr (3pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=2rArr (5pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-3rArr (7pi)/2 $ esterno alla circonferenza $ k=-1rArr -(pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-2rArr -(3pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-3rArr -(5pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-4rArr -(7pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-6rArr -(9pi)/2 $ esterno alla circonferenza.

Quindi in definitiva ho da considerare solo i poli interni alla circonferenza che sono 7 e lo studio dei poli consisterà pressoché nel cambiare variabili:

$ Res(f,pi/2)= lim_(z -> pi/2) (sen(z))/cos(z)(z-(pi)/2) $ Applico de hopital e mi viene:

$ lim_(z -> pi/2) (cos(z)(z-(pi)/2)+sin(z))/-sin(z)=(cos(pi/2)(pi/2-(pi)/4)+sin(pi/2))/-sin(pi/2)=1 $

quindi gli altri saranno simili e cambierà solo il segno del risultato finale del limite:
$ Res(f,(3pi)/2)= -1 $
$ Res(f,(5pi)/2)= 1 $
$ Res(f,-pi/2)= 1 $
$ Res(f,-(3pi)/2)= 1 $
$ Res(f,-(5pi)/2)= -1 $
$ Res(f,-(7pi)/2)= 1 $

Quindi in definitiva avrò $ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz = 2pij(-1+1-1-1+1-1+1)=-2pij $

Questo metodo è nato perchè e non so il motivo ho pensato che $ sen(z) $ non fosse una singolarità eliminabile ma una essenziale e ho cercato in modi impossibile di risolvere un residuo all'infinito. Dopo qualche ora ho capito il mio errore e ho reagito così:
https://www.youtube.com/watch?v=FXLfpwFeNTU

Mentre cercavo di risolvere il residuo all'infinito ho pensato a questo metodo e vi chiedo so che pragmaticamente è inutilmente complesso ma sarebbe valido teoricamente? Facendo il calcolo dei residui mi trovo ma ho difficoltà con il dominio chiamerò al momento il mio dominio D poi alla fine vedrete se il mio ragionamento sul dominio è lecito.

Faccio una sostituzione da una variabile complessa ad una variabile complessa e modifico così il mio integrale:

$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz $

$ tanz=cosz/(senz)rArr { ( cosz=(e^(jz)+e^(-jz))/2 ),( senz=(e^(jz)-e^(-jz))/(2j) ):}rArre^(jz)=trArrdt=je^(jz)dzrArrdz=dt/(jt) $

Quindi ottengo che:

$ int_(D) tan(z) dz =int_(D) (t-(1/t))/(2j)2/(t+(t/2)) (dt)/(tj) = int_(D) (t-t^(2))/(tj)t/(t+t^(2)) (dt)/(tj) = int_(D) (t(1-t))/(t^(2)(t+1) )dt= int_(D) (1-t)/(t(t+1)) dt $

Quindi avrò due poli semplici $z_(0) =0$ e $z_(1) =-1$

$ Res(f,0)= lim_(z -> 0) (1-t)/(t(t+1))t=1 $

$ Res(f,-1)= lim_(z -> 0) (1-t)/(t(t+1))(t+1)=-2 $

Quindi in definitiva mi trovo:

$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz = 2pij(1-2)=-2pij $

Il problema vero e proprio che rende il mio metodo inutilmente complicato è la sostituzione di variabile all'interno del dominio come ma faccio va bene come ho risolto?

Sapendo che $ e^(jz)=t rArr log e^(jz)=logt rArr z= logt/j $

Quindi avrò che $ D=|logt/j-pi|=4pi $ qui ho pensato e forse è una stupidaggine di usare lo sviluppo di taylor per calcolarmi z e poter dividere in parte reale e immaginaria è plausibile o è tutto una boiata?
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda gugo82 » 12/02/2019, 20:07

Questo metodo è nato perchè e non so il motivo ho pensato che $sin z$ non fosse una singolarità eliminabile ma una essenziale [...]

Una funzione non può essere una “singolarità”.

[...] e ho cercato in modi impossibili di risolvere un residuo all'infinito.

Che non ha senso, dato che l’integranda ha una singolarità non classificabile in $oo$.

Per il resto, direi che i conti sono fatti male e non so se la situazione è recuperabile.
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda MrChopin » 12/02/2019, 23:00

gugo82 ha scritto:
Questo metodo è nato perchè e non so il motivo ho pensato che $sin z$ non fosse una singolarità eliminabile ma una essenziale [...]

Una funzione non può essere una “singolarità”.

[...] e ho cercato in modi impossibili di risolvere un residuo all'infinito.

Che non ha senso, dato che l’integranda ha una singolarità non classificabile in $oo$.

Per il resto, direi che i conti sono fatti male e non so se la situazione è recuperabile.


Si si gugo ma l'ho detto stesso io che non ha senso come ho ragionato e l'ho detto anche io che credo che il primo metodo è pragmaticamente migliore rispetto al primo, in che senso la situazione è irrecuperabile? Tutto sbagliato anche il primo metodo? Sono uno studente quindi sono un ignorante e la mia e semplice voglia di conoscere e quindi sicuramente devo studiarmi meglio la teoria, se mi dici dove ho sbagliato mi faresti un piacere! Grazie mille :)

P.S.
Ho una curiosità e sicuramente sarà una stupidaggine ma si usano integrali simili sicuramente più complessi per lo studio dei buchi neri? Escludendo la zona in cui non ci sono deformazioni nello spazio e studiando la singolarità per capire le deformazioni nello spazio?
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda dissonance » 13/02/2019, 17:50

Se vuoi calcolarlo con sostituzione, va bene, ma devi calcolare correttamente come cambia il dominio. Tu passi dalla variabile \(z\) alla variabile \(t\) ma lasci come dominio sempre lo stesso e questo è sbagliato.
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda MrChopin » 14/02/2019, 11:21

dissonance ha scritto:Se vuoi calcolarlo con sostituzione, va bene, ma devi calcolare correttamente come cambia il dominio. Tu passi dalla variabile \(z\) alla variabile \(t\) ma lasci come dominio sempre lo stesso e questo è sbagliato.


Si ma l'ho scritto anche io ed è li che ho problemi infatti l'ho scritto anche io a fine post:

Il problema vero e proprio che rende il mio metodo inutilmente complicato è la sostituzione di variabile all'interno del dominio come ma faccio va bene come ho risolto?

Sapendo che $ e^(jz)=t rArr log e^(jz)=logt rArr z= logt/j $

Quindi avrò che $ D=|logt/j-pi|=4pi $ qui ho pensato e forse è una stupidaggine di usare lo sviluppo di taylor per calcolarmi z e poter dividere in parte reale e immaginaria è plausibile o è tutto una boiata?


Posso usare taylor per risolvere questo problema? O ci sono altri stratagemmi per ottenere la norma euclidea? Perciò ho scritto che questo mio metodo è inutilmente complicato perchè non so come risolvere e se posso risolvere quest'equazione $ D=|logt/j-pi|=4pi $
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda dissonance » 14/02/2019, 12:17

Appunto: è quello il busillis. Non è che il tuo metodo è "inutilmente complicato", è proprio incompleto; la difficoltà principale è quella di descrivere \(D\) nella nuova coordinata \(t\). Mi sembra un problema più difficile che calcolare i residui della funzione originale.
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda MrChopin » 14/02/2019, 16:13

dissonance ha scritto:Appunto: è quello il busillis. Non è che il tuo metodo è "inutilmente complicato", è proprio incompleto; la difficoltà principale è quella di descrivere \(D\) nella nuova coordinata \(t\). Mi sembra un problema più difficile che calcolare i residui della funzione originale.


Infatti qui nasce la mia curiosità c'è un modo per risolvere questo problema? Con lo sviluppo in serie di taylor del logaritmo potrei isolare la z e ricavarmi parte immagina e reale per la norma euclidea? Oppure non c'è modo? Sicuramente non è da preferirsi al primo metodo! Ma è fatto bene o ci sono errori nel primo metodo?
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda dissonance » 14/02/2019, 16:20

Hai fatto 5 domande in 2 righe, è difficile rispondere. Cerca di concentrare un po' il tiro. Ho già detto quello che penso, lo ripeto, ma per l'ultima volta: hai fatto un semplice cambio di variabile, bene, ma sei finito in un problema molto più difficile. Io non saprei risolvere il problema più difficile; usando la formula di Taylor, a mio avviso, non si va da nessuna parte, ma bisognerebbe fare i conti.

Se la cosa ti appassiona, prova tu a fare qualche conto.
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda gugo82 » 14/02/2019, 16:54

Dissonance mi ha anticipato ma ha sostanzialmente risposto con le mie stesse parole. Grazie.

Per quanto riguarda il resto, tieni presente che alla difficoltà dei conti in sé si aggiunge il fatto che il logaritmo complesso è una funzione polidroma, sicché il tuo dominio non è ben definito a meno di non “scegliere” una ben precisa determinazione del logaritmo.
Insomma, meglio lasciar perdere e ricordare che è buona norma ragionare semplicemente.
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Re: Metodo sbagliato per il rasoio di Occam, ma teoricamente giusto?

Messaggioda dissonance » 14/02/2019, 20:25

@Gugo: mi fa piacere. :-)
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