Integrale su spazio con misura indotta

[anto_zoolander]

Ciao!

Mi interesserebbe la correttezza di questo pezzo di dimostrazione

siano $(X,F,mu)$ uno spazio misura, $(Y,G)$ uno spazio misurabile e $varphi:X->Y$ una funzione misurabile. Data la misura $mu_(varphi)(A)=mu(varphi^(leftarrow)(A)), forall A in G$ indotta da $varphi$ su $Y$ si ha

$int_(Y)fdmu_(varphi)=int_(Y)fcircvarphidmu$ per ogni $f:Y->RR$ misurabile

dim
Suppongo che $f=sum_(k=1)^(n)a_k* chi_(A_k)(x)$(ovvero semplice) con ${A_i}_(i=1,...,n)$ una partizione di $Y$

$int_(Y)fdmu_(varphi)=sum_(k=1)^(n)a_k mu_(varphi)(A_k)=sum_(k=1)^(n)a_k mu(varphi^(leftarrow)(A_k))$ $(star)$

Noto che $fcircvarphi(x)=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(A_k)(varphi(x))=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(varphi^(leftarrow)(A_k))(x)$

È ancora una funzione semplice poiché ha immagine finita e ${varphi^(leftarrow)(A_i)}_(i=1,...,n)$ forma una partizione di $X$

L’integrale di questa funzione semplice è esattamente $(star)$ per le proprietà degli integrali di funzioni semplici.
In particolare l’immagine di $fcircvarphi$ è data da tutti gli $a_i$ tali per cui $varphi^(leftarrow)(A_i)ne emptyset$ e almeno uno è sicuramente non vuoto.

Quindi per $f$ semplice vale la tesi. Il resto si dimostra usando Beppo la parte che di cui mi interessa la correttezza è quella sopra.

[dissonance]

La dimostrazione è corretta, ma è una banalità, su. Comunque, questa è una formula che mi ha affascinato da quando ho scoperto che si possono usare le seguenti notazioni, compatibili con la geometria differenziale;
\[
\phi_\star \mu:= \mu_\phi \qquad \phi^\star f:=f\circ \phi.\]
La prima si legge "push-forward di \(\mu\)" e la seconda "pull-back di \(f\)". La formula che hai scritto diviene, allora,
\[
\int_Y f\, \phi_\star(d\mu)=\int_X (\phi^\star f)\, d\mu;\]
ovvero, push-forward e pull-back sono "duali" l'uno all'altro. In questa forma, questa formula è molto più facile da ricordare e ha una certa componente "magica"; c'è sicuramente sotto qualche struttura superiore, ma non saprei quale.

[anto_zoolander]

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non mi lascio sfuggire nulla quando sono sotto l’ombrellone; banalità o meno
Per esempio non avevo mai avuto bisogno di notare che

$chi_Acircvarphi=chi_(varphi^(leftarrow)(A))$

per quanto riguarda il push-forward ci sono ma sul pull-back un po’ meno

Purtroppo penso che con non riuscirò mai a vedere granché di geometria differenziale se non da autodidatta

Comunque concordo sulla bellezza di questa formula; molte altre di teoria della misura sono davvero belle.
A me piace molto perché insieme ad un’altra uguaglianza simile(con il prodotto di funzioni) viene caratterizzato il classico valore atteso di variabili aleatorie continue con densità