Funzione olomorfa e iniettiva

[3m0o]

Sia \( \{a_j\}_{j \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{C} \) tale che
\[ \sum\limits_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| < 1 \]
1) Dimostra che
\[ f(z) = z + \sum\limits_{n=2}^{\infty} a_n z^n \]
è olomorpha nel disco unitario aperto \( \mathbb{D} \).
2) Calcola \( f'(z) \) dentro \( \mathbb{D} \)
3) Dimostra che \( f \) è iniettiva su \( \mathbb{D} \)
Avrei una chiarimento da chiedere per il punto 1) e invece mi blocco nel punto 3).

1) L'assistente mi ha suggerito che se se la funzione è bornata nel disco unitario aperto allora è olomorfa... però non capisco proprio perché dovrebbe essere vero...
Riesco comunque a bornarla e abbiamo su un disco \( D(0,R) \) e per ogni \( R < 1 \) abbiamo che
\[\left| f(z)\right| =\left| z + \sum\limits_{n=2}^{\infty} a_n z^n \right| \leq \left| R \right| + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| a_n R^n \right| \]
E facendo tendere \( R \to 1 \) risulta
\[\left| f(z)\right| = 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| a_n \right| < 2 \]

2) Dovrebbe essere
\[ f'(z) = 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}n a_n z^{n-1} \]

3) Per l'iniettività prendo \( z = r e^{i \theta}\), \(\omega=\rho e^{i \alpha} \in \mathbb{D} \) ho pensato di procedere nel seguente modo
Supponiamo che abbiamo
\[ \Re(f(\omega))= \Re(f(z)) \]
e che abbiamo
\[ \Im(f(\omega))= \Im(f(z)) \]
Voglio dimostrare che \( z = \omega \)

Allora
\[\Re(f(z))= r \cos \theta + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Re(a_n) r^n \cos(n \theta)= \rho \cos \alpha + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Re(a_n) \rho^n \cos(n \alpha)=\Re(f(\omega)) \]
e
\[\Im(f(z))= r \sin \theta + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Im(a_n) r^n \sin(n \theta)= \rho \sin \alpha + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Im(a_n) \rho^n \sin(n \alpha)=\Im(f(\omega)) \]


Ma non so come concludere che \( r = \rho \) e \( \theta = \alpha \) a un \( 2 \pi \) preso.
A priori ciascun potrebbe esistere un \( r \) tale che l'errore rispetto a \( \rho \) mi compensi l'errore dell'angolo sia sul coseno che sul seno e potrebbe risultare vero che \(\Re(a_n) r^n \cos(n \theta) = \Re(a_n)\rho^n \cos(n\alpha) \) e \(\Im(a_n) r^n \sin(n \theta) = \Im(a_n) \rho^n \sin(n\alpha) \) per ogni \( n \)... quindi non capisco come continuare, avreste un hint?

[gugo82]

“Bornata”?
È un francesismo?

Ad ogni buon conto, la $f$ è somma di una serie di potenze che credo si dimostri facilmente avere raggio di convergenza $>=1$; quindi l’olomorfia è garantita.

[3m0o]

Anzi tutto grazie della risposta.

Ah ops, si scusami è un francesismo, ormai mi viene naturale italianizzare certe parole francesi.

Comunque certo il raggio di convergenza \( \rho \) è definito come \[ \rho:= \{ r \in [0,\infty] : \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left| a_k \right| r^k < \infty \} \] e quindi chiaramente con \( r = 1 \) abbiamo che
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left| a_k \right| r^k < 2 \]
dove qui indico \(a_0=0\) e \(a_1=1 \), e quindi il raggio di convergenza è \( \rho \geq 1 \) quindi converge sul disco aperto e quindi è olomorfa sul disco aperto.

Mii domandavo se questo è equivalente a richiedere che la funzione fosse limitata (bornata ) sul disco aperto, nel senso in generale. Se una funzione esprimibile come somma di potenze è limitata in un disco \(D(0,R) \) allora è olomorfa su quel disco?
Se si visto che è olomorfa, e dunque continua, e limitata non dovrebbe esserlo anche sul disco chiuso?

Per il punto 3) avresti dei suggerimenti?

[anto_zoolander]

ciao
per l'iniettività l'unica cosa che mi viene in mente è questa catena

$f(z)=f(w) => z+sum_(n=2)^(+infty)a_nz^n=w+sum_(n=2)^(+infty)a_nw^n => (z-w)=sum_(n=2)^(+infty)a_n(w^n-z^n)$

supponiamo per assurdo che $wnez$

$(z-w)=sum_(n=2)^(+infty)a_n(w^n-z^n)=sum_(n=2)^(+infty)a_n(w-z)sum_(k=0)^(n-1)w^kz^(n-k-1)$

da cui si ottiene(dividendo per $w-zne0$)

$-1=sum_(n=2)^(+infty)a_nsum_(k=0)^(n-1)w^kz^(n-k-1)$

nota che $1=abs(-1)=abs(sum_(n=2)^(+infty)a_nsum_(k=0)^(n-1)w^kz^(n-k-1))leq sum_(n=2)^(+infty)sum_(k=0)^(n-1)abs(a_nw^kz^(n-k-1))$¹

essendo $w,z$ nel disco unitario avremo che $abs(a_nw^kz^(n-k-1))leqabs(a_n)$ da cui

$1leqsum_(n=2)^(+infty)nabs(a_n)<1$ che è assurdo

spero non ci siano errori, mi è venuta di getto

PS: queste cose hanno a che fare con analisi complessa quindi le prossime volte puoi postarle in analisi superiore.

editato un typo sull’indice della sommatoria

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Note

1. $abs(sum_(n=2)^(+infty)sum_(k=0)^(n-1)a_nw^kz^(n-k-1))leqsum_(n=2)^(+infty)abs(sum_(k=0)^(n-1)a_nw^kz^(n-k-1))leqsum_(n=2)^(+infty)sum_(k=0)^(n-1)abs(a_nw^kz^(n-k-1))$ ↑

[gugo82]

Complimenti anto… Ma da $0$ ad $n$ non ci sono $n+1$ elementi?

Io pensavo più a qualcosa tipo “derivata diversa da zero”, di controllare la definizione non mi era venuto in mente.

[anto_zoolander]

si c'è un typo la sommatoria non è $sum_(k=0)^(n)w^kz^(n-k)$ ma $sum_(k=0)^(n-1)w^kz^(n-k-1)$

edito.
Grazie comunque

[3m0o]

Caspita wow, bravo! Grazie mille!

Io pensavo più a qualcosa tipo “derivata diversa da zero”, di controllare la definizione non mi era venuto in mente.

Funziona anche nei complessi "derivata diversa da zero"? Nel senso su \( \mathbb{C} \) non c'è un ordine, e per controllare che è iniettiva non dovrei controllare se la derivata è sempre "maggiore"/"minore" di zero... ma non avrebbe molto senso nei complessi. Sbaglio?

ps: cosa vuol dire typo?

pps: mi scuso per aver sbagliato sezione (più volte).

[axpgn]

typo = errore di battitura

[dissonance]

C
Funziona anche nei complessi "derivata diversa da zero"? Nel senso su \( \mathbb{C} \) non c'è un ordine, e per controllare che è iniettiva non dovrei controllare se la derivata è sempre "maggiore"/"minore" di zero... ma non avrebbe molto senso nei complessi. Sbaglio?

Non sbagli. Infatti, per esempio, la funzione \(z\mapsto e^z\) non è ingettiva anche se la sua derivata non si annulla mai. L'unica cosa che puoi dire è che se la derivata non è nulla in un punto, allora la funzione è localmente invertibile attorno a quel punto, e l'inversa locale è olomorfa. Se non hai ancora visto questo teorema, sicuro lo vedrai tra poco.