Successione infinitesima in uno spazio vettoriale topologico

[otta96]

È vero che se ho una successione infinitesima ${x_n}$ in uno spazio vettoriale topologico (reale o complesso), allora esiste una successione di scalari ${\lambda_n}$, tendente a $\infty$ tale che $\lambda_n x_n$ è infinitesima?
Sarebbe una proposizione del Rudin "Functional analysis", ma lì assume che lo spazio sia metrizzabile.
Mi chiedevo se fosse vero anche in questo caso più generale che ho posto io.

[dissonance]

Vuoi dire "tendente a \(0\)"?

[otta96]

Si per infinitesima intendo tendente a $0$.

[dissonance]

No, voglio dire che non mi convince "\(\lambda_n\) tendente a \(\infty\)".

[otta96]

Perché?

[dissonance]

Perché nella versione originale del post non avevi scritto che \(x_n\) è infinitesima, credo. solo un qui pro quo.

Con questa ipotesi, il problema non è molto interessante (per me) per la ragione seguente. L'esempio standard di spazio non metrizzabile è \(\ell^2\) con la topologia debole. Ma tale spazio ha la proprietà che tutti gli insiemi limitati in norma sono metrizzabili; in particolare, ogni successione infinitesima è definitivamente contenuta in un insieme metrizzabile e si può applicare la costruzione di Rudin.

Se vuoi cercare controesempi all'affermazione che dici dovresti considerare duali di spazi non separabili; https://math.stackexchange.com/q/914570/8157 Ma è una cosa a cui non penso dedicarmi.

[otta96]

Perché nella versione originale del post non avevi scritto che \(x_n\) è infinitesima, credo. solo un qui pro quo.

Si è vero. Ti ringrazio per avermi risposto

[otta96]

Se a qualcuno interessasse ancora ho visto che c'è un esercizio del Rudin che dice che nell'insieme delle funzioni $f:I->CC$ dove $I=[0,1]$ su cui si mette la topologia indotta dalle seminorme ${p_x(f)=|f(x)|}_(x\inI)$ (cioè $CC^I$ con la topologia prodotto, se non mi sbaglio) esiste una successione $f_n$ infinitesima tale che per ogni successione $(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN$ divergente si ha che $\lambda_n f_n$ non è infinitesima.
EDIT: Il motivo è che $|I|=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|$ perché $|I|=|CC|<=|{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}|<=|CC^NN|=|CC|^|NN|=|CC|$. Quindi $EE F:I->{(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN|\lambda_n->0}$ biettiva, quindi considero $f_n(x)=F(x)_n$. Per definizione $AAx\inI, f_n(x)$ è infinitesima, quindi lo è $f_n$, ma per ogni successione $(\lambda_n)_(n\inNN)\inCC^NN$ divergente si ha che $f_n(y)=1AAn\inNN$ con $y=F^(-1)((1/\lambda_n)_(n\inNN))$.