Prolungamento analitico.

[3m0o]

Avrei una domanda di curiosità. Mi stavo domandando se il ragionamento qui sotto è giusto o sbagliato.
A me sembra giusto, ma contemporaneamente mi sembra troppo forte concludere che \( f= g \). Dove sta il mio errore, se c'è ?

Supponiamo di avere due funzioni, \(f,g\) che a priori sono diverse, con le seguenti proprietà:
1) entrambe olomorfe e definite a priori su \( \mathbb{C}\setminus \mathbb{N} \)
2) \( \left| f(z) \right| \to 0 \) e \(\left| g(z) \right| \to 0 \) quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \).
3) La \( g \) possiede delle singolarità che non sono eliminabili in ogni \(n \in \mathbb{N} \).

Io voglio dimostrare che anche \( f \) non possiede singolarità eliminabili per ogni \( n \in \mathbb{N} \).

Definisco \( h(z):=(f-g)(z) \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \) e so che \(h \) è olomorfa su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \) per la proprietà 1).
Inoltre siccome a priori le singolarità di \(h \) sono quelle di \( f \) e di \(g \), e dunque sono dei punti isolati posso prolungare analiticamente \(h \) a tutto \( \mathbb{C} \), il prolungamento analitico lo chiamerò \( \tilde{h} \).
Inoltre grazie alla proprietà 2) abbiamo che \( \left| h(z) \right| \to 0 \) quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \) e dunque \( \left| \tilde{h}(z) \right| \to 0 \) quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \).
Pertanto la \( \tilde{h} \) è intera e limitata dunque costante e siccome va a zero quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \) allora \( \tilde{h} = 0\). Questo vuol dire che su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \) abbiamo che \( f(z) = g(z) \).
Supponiamo che \( f \) possiede una singolarità eliminabile per un qualche \( n_0 \in \mathbb{N} \) allora abbiamo che
\[ \lim_{z \to n_0} f(z) \in \mathbb{C} \]
Ma siccome \( f(z) = g(z) \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \) allora abbiamo che
\[ \lim_{z \to n_0} f(z)=\lim_{z \to n_0} g(z) \in \mathbb{C} \]
ma questo è assurdo per la proprietà 3).

E dunque la \( f =g \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \) e \( f \) possiede dei poli o delle singolarità essenziali in ogni \( n \in \mathbb{N} \).

- È vero il risultato?
- Se è falso, sarebbe possibile renderlo vero aggiungendo delle ipotesi? Rendere \(f,g \) periodiche e/o con un polo uguale per un certo \( n_0 \in \mathbb{N} \) fissato.
- Posso sostituire \( \mathbb{N} \) con qualunque insieme di punti isolati in \( \mathbb{C} \) ?

[dissonance]

Un attimo solo. Se \(|f(z)|\to 0\) per \(\Im z\to 0\), significa che si annulla su tutto l'asse reale, ma allora è identicamente nulla. Puoi specificare meglio cosa intendi con la condizione 2?

[3m0o]

Ho scritto non so per quale motivo 0, ma volevo dire:
Se \( |f(z)|\to 0 \) e anche \( |g(z)|\to 0 \) per \( \left|\Im z \right| \to \infty \)
Correggo

[dissonance]

E' comunque sbagliato. Nessuna ipotesi lega \(f\) a \(g\). Non si può quindi concludere nulla su \(f-g\), a meno casi banali (entrambe sono costanti). Infatti, qui:

posso prolungare analiticamente \(h\) a tutto \(\mathbb C\)

qui ti sbagli. Nessuno garantisce che le singolarità di \(f\) e quelle di \(g\) si compensino esattamente. Se aggiungi questa ipotesi, il ragionamento fila.