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Hai ragione su tutto:
1) ho fatto confusione fra$1/(z+1)$ e $1/(z-1)$
2) Lo sviluppo di Laurent non è possibile in questo caso perché le condizioni del teorema non sono rispettate.
In effetti il teorema ci dice che è possibile sviluppare solo nel caso in cui $f(z)$ è olomorfa in una regione a corona circolare compresa fra $r<|z-z_0|<R$ eccetto al più $z_0$. Quindi credo che lo sviluppo tra $1<|z|<2$ dia infiniti termini negativi perché $z_0$ non è più l'unica singolarità isolata per la funzione. Di conseguenza, avendo due singolarità nell'intorno bucato, si avrà una situazione paragonabile ad una singolarità essenziale...

Boomerang ha scritto:credo che lo sviluppo tra $1<|z|<2$ dia infiniti termini negativi perché $z_0$ non è più l'unica singolarità isolata per la funzione.

Questo mi era sfuggito! Hai ragione, in quel caso "l'intorno" bucato contiene due singolarità e questo è un motivo in più per il quale non esiste quello sviluppo

Abbiamo quindi chiarito il motivo della seguente affermazione:

gugo82 ha scritto:Visto che \( \displaystyle |-3\imath -3\imath|=6 \) il secondo polo sta sulla frontiera esterna del suddetto intorno forato, quindi all'interno non ci sono altre singolarità al di fuori di \( \displaystyle 3\imath \) (ciò, per essere più chiari, significa che l'intorno forato \( \displaystyle 0<|z-3\imath|<6 \) è il più grande intorno forato di \( \displaystyle 3\imath \) in cui lo sviluppo di Laurent di \( \displaystyle f \) converge).

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P.S: ti faccio i miei complimenti per la chiara e ordinata esposizione dei fatti!