Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda fede16 » 03/05/2013, 17:07

Ciao ragazzi!

Sto svolgendo questo esercizio di analisi complessa:

Nello spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione

$ Ax=alpha<u,x>u+beta<v,x>v $ con $ alpha, beta in mathbb(C) $ e u,v vettori ortonormali in H.

a) verificare che l'operatore A è limitato e calcolarne la norma.

Il mio libro la risolve così:

Possiamo scrivere $ A=alphaP_1 + betaP_2 $ con

$ P_1 x= <u,x>u $ e $ P_2 x= <v,x>v $ operatori di proiezione ortogonale lungo i vettori u e v . Si ha:

$ P_1^2=P_1 $
$ P_2^2=P_2 $
$ P_1P_2=P_2P_1=0 $
$ ||P_1||=||P_2||=1 $

L'operatore A è quindi limitato, e :

$ ||A||<=|alpha|||P_1||+|beta|||P_2||=|alpha|+|beta| $

Esserndo u e v ortogonali tra loro, abbiamo che $ P_1x $ e $ P_2x $ sono ortogonali tra loro:

$ ||Ax||^2<=|alpha|^2||P_1x||^2+|beta|^2||P_2x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2}(||P_1x||^2+|P_2x||^2) = $

$ = max {|alpha|^2,|beta|^2}||(P_1+P_2)x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2} ||x||^2 $

Se scegliamo $ x=P_1x $ oppure $ x=P_2x $ si ottiene

$ ||AP_1x|| = ||alphaP_1x|| = |alpha|||P_1x||=|alpha|||x|| $
$ ||AP_2x|| = ||betaP_2x|| = |beta|||P_2x||=|beta|||x|| $

per cui $ ||A|| = max {|alpha|,|beta|} $

Allora, fino a che dimostra che è limitato è tutto ok, perchè poi dopo per verificare l'ortogonalità va a prendere in considerazione il massimo?? Sapreste spiegarmi cosa sta facendo con quelle operazioni?

grazie mille in anticipo.. ;)
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda gugo82 » 03/05/2013, 23:46

fede16 ha scritto:Ciao ragazzi!

Sto svolgendo questo esercizio di analisi complessa:

Nello spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione

$ Ax=alpha<u,x>u+beta<v,x>v $</v,x></u,x> con $ alpha, beta in mathbb(C) $ e u,v vettori ortonormali in H.

a) verificare che l'operatore A è limitato e calcolarne la norma.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il mio libro la risolve così:

Possiamo scrivere $ A=alphaP_1 + betaP_2 $ con

$ P_1 x= <u,x>u $</u,x> e $ P_2 x= <v,x>v $</v,x> operatori di proiezione ortogonale lungo i vettori u e v . Si ha:

$ P_1^2=P_1 $
$ P_2^2=P_2 $
$ P_1P_2=P_2P_1=0 $
$ ||P_1||=||P_2||=1 $

L'operatore A è quindi limitato, e :

$ ||A||<=|alpha|||P_1||+|beta|||P_2||=|alpha|+|beta| $

Esserndo u e v ortogonali tra loro, abbiamo che $ P_1x $ e $ P_2x $ sono ortogonali tra loro:

$ ||Ax||^2<=|alpha|^2||P_1x||^2+|beta|^2||P_2x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2}(||P_1x||^2+|P_2x||^2) = $

$ = max {|alpha|^2,|beta|^2}||(P_1+P_2)x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2} ||x||^2 $

Se scegliamo $ x=P_1x $ oppure $ x=P_2x $ si ottiene

$ ||AP_1x|| = ||alphaP_1x|| = |alpha|||P_1x||=|alpha|||x|| $
$ ||AP_2x|| = ||betaP_2x|| = |beta|||P_2x||=|beta|||x|| $

per cui $ ||A|| = max {|alpha|,|beta|} $

Allora, fino a che dimostra che è limitato è tutto ok, perchè poi dopo per verificare l'ortogonalità va a prendere in considerazione il massimo?? Sapreste spiegarmi cosa sta facendo con quelle operazioni?

Mi sa che non hai letto con la dovuta attenzione il testo del problema. Fallo.
Rileggiti anche la definizione di norma operatoriale e poi medita sulla soluzione proposta.
Se ancora non riesci ad orientarti, prova a spulciare sul forum: esercizi del genere sono già stati svolti altre volte.

Dopodiché, se hai ancora bisogno di una mano, torna a postare. :wink:
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda fede16 » 04/05/2013, 14:24

Ho fatto come mi hai detto tu!!

Rileggendo la definizione di norma operatoriale, effettivamente mi chiarisce un po' le idee.
Non mi è però ben chiaro perchè nella definizione di norma (operatoriale) metta:

\( ||A||=\sup \) $ ||Ax||/||x|| $

quando invece nell'esercizio considera il max :(
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda gugo82 » 04/05/2013, 23:22

Ma hai capito bene qual è il significato della norma operatoriale?
Insomma, la quantità \(\|A\|\) a che serve? In che disuguaglianza interviene? Etc...
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda mic_1 » 26/05/2017, 11:27

@gugo82 sto cercando di capire lo stesso problema...

Spulciando un po in giro ho notato che ci sono argomenti di esercizi non trattati nelle dispense del prof per cui proverò a chiederti...Ho trovato che l'operatore se è autoaggiunto ha norma operatoriale pari al max.... tale affermazione è valida anche in questo contesto?

La norma operatoriale considera il minimo valore reale positivo affinchè sia valida la relazione ||Ax|| <= C ||x|| ma con la formula risultante dell'esercizio effettivamente nemmeno io ho capito perchè usa il max. Non ci dovrebbero essere ulteriori informazioni che aiutano ad arrivare a tale conclusione? Grazie
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda gugo82 » 29/05/2017, 00:05

Non capisco quali considerazioni generali servano, in quanto lo svolgimento dell'esercizio mi sembra piuttosto chiaro... Ad ogni buon conto, lo risvolgo cercando di chiarire qualche punto.

Per determinare la norma dell'operatore dobbiamo ricercare la più piccola costante non negativa $C$ tale che:
\[
\| Tx\| \leq C\ \| x\|
\]
per ogni $x in H$. Per fare ciò bisogna maggiorare la norma dell'immagine $Tx$ ragionevolmente, ossia cercando di non "salire" troppo.
Poiché la \(\|Tx\|\) è la radice quadrata del prodotto scalare \(\langle Tx,Tx\rangle\), conviene lavorare con il quadrato della norma.
Ricordato che \(\|u\|=1=\|v\|\) e \(\langle u,v\rangle=0\), abbiamo:
\[
\begin{split}
\| Tx\|^2 &= \left\langle a \langle u,x\rangle u + b \langle v,x\rangle v, a \langle u,x\rangle u + b \langle v,x\rangle v \right\rangle\\
&= a^2 \langle u,x\rangle^2 \|u\|^2 +2ab \langle u,x\rangle \langle v,x\rangle \langle u,v \rangle+ b^2 \langle v,x\rangle^2 \|v\|^2\\
&= a^2 \langle u,x\rangle^2 + b^2 \langle v,x\rangle^2\; ;
\end{split}
\]
usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, troviamo:
\[
\begin{split}
\| Tx\|^2 &\leq a^2\|u\|^2\|x\|^2 + b^2\|v\|^2\|x\|^2\\
&= (a^2 +b^2)\|x\|^2
\end{split}
\]
dunque:
\[
\|Tx\|\leq \sqrt{a^2 +b^2}\ \|x\|\; .
\]
Quanto appena trovato ci dice che $T$ è limitato e che la sua norma è $<= \sqrt{a^2 +b^2}$.

Tuttavia, quella appena ottenuta è una stima abbastanza rozza di \(\|T\|_{\text{op}}\)... Ciò, fondamentalmente, è dovuto al fatto che non abbiamo usato sufficientemente le proprietà geometriche di $u$ e $v$.
Per renderci conto di questo fatto, prendiamo \(x \in \operatorname{span}\{u,v\}\), di modo che:
\[
x=\langle u,x\rangle u +\langle v,x\rangle v =P_ux+P_vx
\]
in cui $P_u,P_v$ denotano gli operatori di proiezione sulle direzioni di $u$ e $v$; per un tale $x$, ricordando le proprietà dei proiettori, si ha:
\[
\begin{split}
Tx &= aP_u(P_ux+P_vx)+bP_v(P_ux+P_vx)\\
&=aP_u x + bP_v x\; ,
\end{split}
\]
da cui, notato che che nel sottospazio generato da $u$ e da $v$ vale il Teorema di Pitagora, ricaviamo:
\[
\begin{split}
\|Tx\|^2 &= a^2\|P_u x\|^2 + b^2\|P_v x\|^2\\
&\leq \max\{ a^2, b^2\} \left( \|P_u x\|^2 + \|P_v x\|^2\right)\\
&= \max\{ a^2, b^2\}\ \|x\|^2
\end{split}
\]
quindi la norma operatoriale di $T$ è certamente $<= \sqrt{\max\{ a^2, b^2\}} = \max\{ |a|, |b|\} $, quantità che è più piccola di $sqrt(a^2+b^2)$.

Infine, per stabilire che \(\|T\|_{\text{op}}= \max\{ |a|, |b|\}\) basta far vedere che non è possibile la disuguaglianza stretta \(\|T\|_{\text{op}}< \max\{ |a|, |b|\}\); ciò, in questo che è un caso semplice, si prova esibendo esplicitamente qualche vettore $x$ tale che \(\| Tx\| = \max\{ |a|, |b|\} \|x\|\).1
Nel caso in esame, i vettori \(x^\prime :=\operatorname{sign}(a) u\) e \(x^{\prime\prime} :=\operatorname{sign}(b) v\) hanno entrambi norma unitaria e rispettivamente:
\[
Tx^\prime =|a| u\qquad\text{e}\qquad Tx^{\prime\prime} =|b| v
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\|Tx^\prime\|&=|a|\|x^\prime\|\\
\|Tx^{\prime\prime}\|&=|b|\|x^{\prime\prime}\|
\end{split}
\]
pertanto l'uguaglianza \(\| Tx\| = \max\{ |a|, |b|\} \|x\|\) è soddisfatta prendendo $x=x^\prime$ od $x=x^{\prime\prime}$ a seconda dei casi.

Note

  1. In casi più generali, ciò non si può sempre fare e bisogna adottare altre strategie.
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda mic_1 » 07/06/2017, 15:38

Grazie gugo82 anche se non ho capito perché nel ragionamento del calcolo della norma quadra utilizza max. Cioè può essere anche minore o uguale del sup che a sua volta è minore o uguale del max.
Forse perché si hanno a e b come scalari? Correggimi perché credo di dire una fesseria ma può essere che quando si ha vettori in norma si consideri il sup mentre per gli scalari il max? Grazie.
Spero di non averla detta troppo grossa!
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda gugo82 » 08/06/2017, 13:54

Qual è il più piccolo numero più grande di due numeri assegnati?
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda mic_1 » 08/06/2017, 15:50

Quello che posso dirti è che il sup è l'estremo superiore ossia il più piccolo dei maggioranti che a sua volta è minore del max (massimo).
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Re: Esercizio Operatori lineari (3)

Messaggioda mic_1 » 08/06/2017, 16:09

Aspetta aspetta... Però se l' intervallo è chiuso e limitato il sup sarà esattamente il max. Confermi?
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