Maxandri ha scritto:Per $T^+$ basta prendere ...
Si deve dimostrare l'uguaglianza sottostante:
$\int_{0}^{1}dxg(x)T[f(x)]=\int_{0}^{1}dxf(x)T^+[g(x)]$
Per quanto riguarda il
secondo membro, utilizzando l'operatore aggiunto indicato dal testo:
$\int_{0}^{1}dxf(x)T^+[g(x)]=\int_{0}^{1}dxf(x)\int_{x}^{1}g(y)dy$
Per quanto riguarda il
primo membro, dopo un paio di manipolazioni:
$\int_{0}^{1}dxg(x)T[f(x)]=\int_{0}^{1}dxg(x)\int_{0}^{x}f(y)dy=\int_{0}^{1}dyf(y)\int_{y}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}dxf(x)\int_{x}^{1}g(y)dy$
Più in dettaglio:
$\int_{0}^{1}dxg(x)\int_{0}^{x}f(y)dy=\int_{0}^{1}dyf(y)\int_{y}^{1}g(x)dx$
è stata ottenuta notando che il dominio dell'integrale doppio è il triangolo di vertici $(0,0) ^^ (1,0) ^^ (1,1)$ e integrando prima in x e poi in y (nel primo membro si integrava prima in y e poi in x);
$\int_{0}^{1}dyf(y)\int_{y}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}dxf(x)\int_{x}^{1}g(y)dy$
è stata ottenuta scambiando semplicemente la x con la y.
Inoltre, per quanto riguarda le due proprietà $[f'(0)=0] ^^ [f(1)=0]$, dopo aver scritto l'equazione agli autovalori sottostante:
$[T^+[T[f(x)]]=\lambdaf(x)] rarr [\int_{x}^{1}dy_2\int_{0}^{y_2}f(y_1)dy_1=\lambdaf(x)]$
si evince non solo che:
$[\int_{1}^{1}dy_2\int_{0}^{y_2}f(y_1)dy_1=\lambdaf(1)] rarr [f(1)=0] ^^ [\lambda ne 0]$
ma anche, dopo una prima derivazione:
$[(d(\int_{x}^{1}dy_2\int_{0}^{y_2}f(y_1)dy_1))/(dx)=-\int_{0}^{x}f(y_1)dy_1=\lambdaf'(x)] rarr [-\int_{0}^{0}f(y_1)dy_1=\lambdaf'(0)] rarr$
$rarr [f'(0)=0] ^^ [\lambda ne 0]$
Infine, giova sottolineare che, dopo una seconda derivazione:
$-f(x)=\lambdaf''(x)$