Esercizio operatore limitato

[Docmat22]

Ciao a tutti, ho alcune difficoltà con questo esercizio:
Siano $ X $,$ Y $,$ Z $ spazi di Banach, $T: X \rightarrow Y$ lineare e $U: Y \rightarrow Z$ lineare, limitato e iniettivo ed inoltre l'operatore composto $UT: X \rightarrow Z$ limitato. Provare che $T$ è limitato.
Ho provato a procedere in questo modo: essendo $UT$ limitato ho che esiste $c>0$ tale che
\( ||UTx|| \leq c ||x||\quad \forall x \in X \)
Inoltre so che U è limitato quindi esiste $c_1 >0$ tale che
\( ||UTx|| \leq c_1 ||Tx|| \quad \forall x \in X \).
Ora in realtà pensavo di procedere per assurdo supponendo che T non sia limitato, ma ho delle difficoltà in primis perchè non riesco ad arrivare alla tesi e poi perchè non capisco come sfruttare l'iniettività di $ U$. Spero possiate darmi una mano.

[dissonance]

Cerca "The closed graph theorem" qui :

https://terrytao.wordpress.com/2009/02/ ... sequences/

[Docmat22]

Cerca "The closed graph theorem" qui :

https://terrytao.wordpress.com/2009/02/ ... sequences/

In effetti non avevo pensato al teorema del grafico chiuso
Quindi essendo $U$ lineare e limitato per il teorema ho che $\mathcal(G)(U)=\{ (y,z): y \in Y, z=U(y)\}$ è chiuso,
analogamente $UT$ è lineare (per composizione o sbaglio?) e limitato e quindi $\mathcal(G)(UT)=\{ (x,z): x \in X, z=UT(x)\}$ è chiuso.
Ora devo dimostrare che anche $\mathcal(G)(T)$ è chiuso, posso supporre per assurdo che non lo sia, quindi esiste una successione $x_n \rightarrow x_0$ tale che $T(x_n) \rightarrow w \ne T(x_0)$
Posso considerare una successione $x_n \rightarrow x_0$ e suppongo per assurdo che $T(x_n) \rightarrow 0 \ne T(x_0)$
Ora so che essendo $UT$ limitato e che il suo grafico è chiuso quindi:
$UT(x_n) \rightarrow UT(x_0)$.
Ma so anche che $U$ è limitato e quindi $U(T(x_n)) \rightarrow U(0)$ ma $U(0)=0$ per l'iniettività quindi
$U(T(x_n)) \rightarrow 0$
Confrontando i due limiti deve essere $T(x_0)=0$ e quindi trovo un assurdo.
Può avere un senso?

[dissonance]

Si, è quella l'idea.

[Seneca]

Alternativamente penso si possa vedere come conseguenza del teorema dell'inversa (Corollary 2 del documento al link che ti ha indicato Dissonance). Infatti $U$ risulta invertibile e $U^{-1} : U(Y) \rightarrow Y$ è limitato. Quindi per ogni $x \in X$ risulta
\[ \| T x \| = \| U^{-1} U T x \| \le \| U^{-1} \| \|UT x \| \le \| U^{-1} \| \|UT \| \| x \| .\]
Gira e rigira siamo lì.

[dissonance]

HHHMMMM non sono d'accordo, Seneca. Nessuno ha detto che \(U(Y)\) è chiuso (e quindi di Banach). Pertanto il teorema dell'inversa non è applicabile e non è detto che \(U^{-1}\) sia un operatore limitato. Difatti è pieno di operatori ingettivi che non hanno l'immagine chiusa e che non hanno inverso limitato. Per esempio
\[
U\colon \ell^2\to \ell^2\quad U(x_1, x_2, x_3 \ldots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3} \ldots\right).\]

[Seneca]

Ah, grazie della correzione, giustamente... (un saluto!)

[Docmat22]

Si, è quella l'idea.

Ok..però che successione potrei usare per arrivare all'assurdo? La successione che ho usato non mi convince molto..

[dissonance]

Io farei così, ma sei tu quello che deve capire bene l'esercizio, quindi fai tutti i tentativi che vuoi.

Secondo me non c'è da ragionare per assurdo. Tocca dimostrare questa implicazione:
\[
x_n\to x_0\quad \text{e}\quad y_n=Tx_n \to y\qquad \Rightarrow\quad y=Tx_0.
\]
Usa il fatto che \(Uy_n\to Uy\) e \(UTx_n\to UTx_0\).

[Docmat22]

Grazie..cercherò di confrontare i due modi..grazie ancora per l'aiuto!!