dimostrare che un operatore e' non compatto

[FRALT90]

Ciao a tutti,
sto studiando gli operatori compatti e ho provato a svolgere il seguente esercizio: Sia $H=l^2(mathbb(N))$. Studiare la compattezza dell'operatore A cosi' definito

$ (Au)_k= sum_(h\in mathbb(N)) e^(-abs(k-h)) u_h $

A me l'operatore sembra non compatto, percio' ho provato a procedere nel seguente modo: suppongo per assurdo che A sia compatto. Allora vale il teorema " Se A e' compatto, allora A trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e vedo se l'operatore A verifica questa implicazione.
Prendo come successione debolmente convergente la base canonica di $l^2(mathbb(N))$ che converge a zero debolmente e vedo che, poiche' il vettore $e_j$ ha 1 nella posizione j e zero in tutte le altre,

$ (Ae_j)_k=e^-abs(k-j) $

e di conseguenza

$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) $

A questo punto mi blocco perche' non riesco a far vedere che per $ j->+oo $ la norma non converge a zero. In qualsiasi modo io pensi di fare una stima ho comunque somme che vanno a zero
Mi aiutate? Grazie mille

[dissonance]

Usa la disuguaglianza
\[
\sum_{k\in\mathbb N} e^{-2|k-j|}\ge e^{-2|k-k|}=1.\]

[FRALT90]

Prima di tutto mi scuso per aver sbagliato la sezione del forum.

Passo all'esercizio: la tua stima e' veramente furba, complimenti! Ma ho un dubbio, dato che dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?

Io stamattina ho continuato a pensarci e sono arrivata a questa stima, ma anche lì c'e' eliminazione del parametro j e non so se posso farlo

$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) <= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k))= sum_(k\in mathbb(N)) (1/e^(2))^k $

questa e' una serie geometrica con ragione <1, pertanto e' una serie convergente e converge a $ 1/(1-(1/e^2))!= 0 $ ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero e quindi $Ae_j$ non converge a zero fortemente e da questo deriva l'assurdo. Dite che e' corretto anche questo come procedimento?

[Seneca]

[...] ho un dubbio, dato che dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?

Hai una successione reale i cui elementi sono tutti $> 1$. Basta questo a dire che non tenderà a zero, giusto?

Per quanto riguarda la seconda domanda:

[...] ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero

Hai dimostrato che la successione delle norme è limitata. Quella stima non ti permette di escludere il caso che il limite sia zero (e quindi avere un assurdo). Non puoi neppure affermare che tale successione converga, ti pare?

[dissonance]

Prima di tutto mi scuso per aver sbagliato la sezione del forum.

? A me sembra la sezione giusta.

dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?

Certamente. Stai usando un teorema di analisi 1: la disuguaglianza
\[
a_j\ge C
\]
implica
\[
\lim_{j\to \infty} a_j \ge C.\]

Io stamattina ho continuato a pensarci e sono arrivata a questa stima, ma anche lì c'e' eliminazione del parametro j e non so se posso farlo

$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) <= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k))= sum_(k\in mathbb(N)) (1/e^(2))^k $

questa e' una serie geometrica con ragione <1, pertanto e' una serie convergente e converge a $ 1/(1-(1/e^2))!= 0 $ ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero e quindi $Ae_j$ non converge a zero fortemente e da questo deriva l'assurdo. Dite che e' corretto anche questo come procedimento?

Hai fatto bene a provare ma non va bene. Hai dimostrato che \(\|A e_j \| \le C\) per una costante \(C>0\) ma questo non esclude che \(\|A e_j\| \) possa tendere a zero.

[dissonance]

Solo per dire che ho detto esattamente la stessa cosa di Seneca (che approfitto per salutare)

[FRALT90]

ora mi e' tutto veramente molto chiaro, non avevo pensato per niente a quel fantastico teorema di analisi

Grazie mille sia a Seneca che a Dissonance per avermi aiutato

[dissonance]

Quel teorema è il più fondamentale di tutta l'analisi (mi assumo la responsabilità di questa affermazione esagerata ).