Calcolo dei residui per la risoluzione di un integrale di variabile reale

[opisthofulax]

Salve,
sto cercando di calcolare questo integrale per cui è richiesto esplicitamente una risoluzione con il metodo dei Residui
\begin{equation}
I = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+3x^2)}
\end{equation}
Dunque per ricondurmi ad un integrale della forma \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mathrm{d}x\) procedo con la sotituzione $x = t^2$ e notando che la nuova funzione risulta dispari estendo l'integrale a tutto l'asse reale:
\begin{equation}
I = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{2t\mathrm{d}t}{t(1+3t^4)} = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{2\mathrm{d}t}{(1+3t^4)} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+3t^4}
\end{equation}
La funzione $f(z) = \frac{1}{1+3z^4} = \frac{1}{3}\frac{1}{1/3+z^4}$ presenta 4 poli semplici, di cui 2 nel semipiano superiore e 2 nel semipiano inferiore. Dunque sfruttando il teorema dei residui:
\begin{equation}
I = \oint_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z = 2\pi i \sum\limits_j \mathrm{Res} (f(z), z^+_j)
\end{equation}
con \(z^+_j\) i due poli del sempiano superiore, ossia \(z_1 = \frac{\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}\) e \(z_2 = \frac{i\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}\).
Essendo poli semplici possiamo sfruttare o la relazione \(f(z) = \frac{1}{g(z)} \) e calcolare il residuo in \(z^+_j\) come \(\frac{1}{g(z^+_j)}\) oppure scomporre il polinomio al denominatore e sfruttare la relazione:
\begin{equation}
\mathrm{Res}(f(z), z_0) = \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)
\end{equation}
Utilizzando il primo metodo (io li ho fatti tutti e due ma esce fuori sempre il solito risultato) si trova:
\[\mathrm{Res}\left(f(z), \frac{\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}\right) = \left(\frac{1}{12z^3}\right)\Bigg|_{z = \frac{\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{1}{4i\sqrt[4]{3}\sqrt{i}}\]
e
\[\mathrm{Res}\left(f(z), \frac{i\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}\right) = \left(\frac{1}{12z^3}\right)\Bigg|_{z = \frac{i\sqrt{i}}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{i}}\]
da cui si trova il valore dell'integrale (che so essere sbagliato)
\[I = 2\pi i \cdot\left(\frac{1}{4i\sqrt[4]{3}\sqrt{i}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{i}}\right) = \frac{\pi(1+i)}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{i}}\]
mentre il risultato esatto è \(\frac{\pi}{\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}\). Qualche idea?

[gorgeous.george]

Ciao!
Il tuo risultato e' corretto, devi solo esprimere in forma esponenziale $(1+i)$ e $sqrt(i)$ per ottenere la stessa forma.

G

[opisthofulax]

Sì, con vergogna me ne sono accorto grazie lo stesso, in effetti basta notare nella mia soluzione che
\begin{equation}
\sqrt{i} = \frac{(1+i)}{\sqrt{2}}
\end{equation}

[WhiteC]

Ciao, sto svolgendo anche io questo tipo di integrali per la preparazione all'esame di analisi reale e complessa.
Una domanda: anche a me, nelle tracce vecchie, ogni tanto compare "calcolare col metodo dei residui", in altre no.
Il fatto è che io li svolgo sempre col metodo dei residui.
Per esempio , in questo caso, la prof ci avrebbe fatto continuare, parametrizzando (x=z=Re^i theta, dx=dz=i Re^itheta dtheta)
ottenendo così la somma di due integrali... uno che va da -R ad R in dx e uno da 0 a pigreco in dtheta.
Tramite una maggiorazione,per R che va a + infinito, l'integrale in dtheta va a 0 e quindi troverei esattamente il risultato ottenuto col teorema dei residui.

Non so se sono stata molto chiara.

Al di là di tutto, l'integrale che avete postato, si può risolvere anche senza residui? se si..come?

[gorgeous.george]

Ciao.

Per esempio , in questo caso, la prof ci avrebbe fatto continuare, parametrizzando (x=z=Re^i theta, dx=dz=i Re^itheta dtheta)
ottenendo così la somma di due integrali... uno che va da -R ad R in dx e uno da 0 a pigreco in dtheta.
Tramite una maggiorazione,per R che va a + infinito, l'integrale in dtheta va a 0 e quindi troverei esattamente il risultato ottenuto col teorema dei residui.

Quello che hai descritto sembra il metodo del calcolo dei residui, salvo per l'integrale in $dvartheta$, che sarebbe un integrale in $dz$ sulla semicirconferenza di raggio $R$ , ma potrei non aver capito bene perche' non riesco a leggere molto chiaramente la sostituzione al momento.

Ciao, sto svolgendo anche io questo tipo di integrali per la preparazione all'esame di analisi reale e complessa.

Ti avrei detto che gli integrali vanno risolti con il metodo dei residui anche in assenza di tale specifica, ma siccome dici che l'esame e' di analisi reale oltre che complessa, forse il tuo dubbio e' fondato; non saprei dirti con queste informazioni pero', perche' in tutti i corsi di matematica/fisica/ingegneria che conosco, analisi reale e complessa vengono insegnate in corsi separati, percio' si finisce a risolvere gli integrali sempre con i metodi dell'una o dell'altra, a seconda del corso.

Comunque, il metodo dei residui e' soltanto (appunto) UN metodo per risolvere agevolmente integrali che altrimenti risulterebbero troppo complicati da risolvere con i metodi dell'analisi reale.
In generale l'integrale potrebbe essere quindi risolvibile con altri metodi.
In merito ti invito a leggere l'intervento di Camillo in quest'altro post, e' abbastanza pertinente a cio' che chiedi.

Ciao

G