calcolo integrale con metodo dei residui

[gorgeous.george]

Buonasera a tutti.
Sto cercando di calcolare l'integrale

$ int_(-oo)^(+oo) (x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $

ma, dopo aver ripetuto i calcoli piu' volte, giungo sempre alla stessa conclusione, che so essere errata.
Vi chiedo quindi gentilmente conferma della correttezza del mio procedimento.
La funzione integranda ha 4 poli semplici (2 nel semipiano superiore e 2 in quello inferiore); nessuno dei poli e' zero del numeratore.
Integro quindi la funzione complessificata lungo il circuito semicircolare(composto dalla semicirconferenza di raggio R giacente nel piano superiore e dalla porzione di asse reale compresa tra -R ed R) contenente i poli del semipiano superiore:
poiche'

$ lim_(abs(z) -> +oo) f(z)=0 $

allora l'integrale lungo la semicirconferenza e' nullo, e pertanto

$lim_(R->+oo) int_(Gamma _R) (z+4)/((z^2+2z+2)(z^2+9)) dz = lim_(R->+oo)int_(-R)^(R)(x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $

e

$lim_(R->+oo)int_(-R)^(R)(x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx = P.V.int_(-oo)^(+oo) (x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $

con ovviamente

$2iPi{sum(Res(f(z),z_(j^+)))} =int_(Gamma _R) (z+4)/((z^2+2z+2)(z^2+9)) dz $

Dove sbaglio?
Grazie in anticipo per i vostri eventuali suggerimenti.

G

[Antimius]

Il procedimento è corretto. Soltanto non basta che $f(z) \to 0$. Infatti, per il lemma del grande cerchio sai che se $zf(z) \to c$ nel settore compreso tra angoli $\theta_1$ e $\theta_2$, allora $$\lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z) dz = i(\theta_2 - \theta_1)c$$
dove $\gamma_R$ è l'arco di circonferenza compreso tra $\theta_1$, $\theta_2$.
Detto ciò, $z f(z) \to 0$ e quindi il risultato non cambia. Hai considerato solo i poli del semipiano superiore quando hai fatto la somma dei residui?

[gorgeous.george]

Grazie della precisazione, avevo erroneamente confuso le ipotesi del lemma di Jordan con quelle del teorema del grande cerchio, e probabilmente non me ne sarei accorto per un bel po' visto che negli esercizi che mi capitano di solito le ipotesi si verificano solo per formalita', essendo "addomesticati".
Confermo di aver calcolato i residui solo nei poli contenuti nel semipiano superiore, a questo punto credo di aver sbagliato qualche conto piu' e piu' volte; rivedro' i calcoli fra un paio di giorni, a mente fresca.
Grazie!

G

[Antimius]

FIgurati

[gugo82]

Confermo la bontà del procedimento.

Il risultato è $(13 pi)/(51)$.