Dove posso trovare la dimostrazione del teorema di Alexsandrov in dim 1?

[glooo]

Mi servirebbe la dimostrazione del teorema di Alexsandrov per le funzioni convesse in dimensione $1$.

Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convessa, allora $f$ ha derivata seconda quasi ovunque. Più precisamente vale l'espansione di Taylor di $f$ fino al secondo ordine.


Ho trovato una dimostrazione nel caso di dimensione $n$ generica nel libro di Evans and Gariepy, 'Measure theory and finite properties of functions'.


Visto che mi serve questo risultato solo in dim $1$ mi chiedevo se ci fosse qualche dimostrazione più semplice.
Qualcuno potrebbe darmi dei riferimenti? Grazie mille!

[Rigel]

Non ricordo bene, ma forse il caso 1d lo trovi sul libro di Rockafellar.
Di fatto, se una funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è convessa allora ammette in ogni punto derivata destra e sinistra, ed entrambe queste funzioni sono motonone crescenti (e coincidono al di fuori di un insieme al più numerabile di punti di salto).
A questo punto si usa il fatto che una funzione monotona è derivabile quasi ovunque.

[glooo]

Grazie mille!