Passa al tema normale
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Re: Calcolare la norma di un operatore

19/04/2017, 11:47

Non preoccuparti, non hai ingarbugliato nulla. Grazie Gugo,, buona giornata

Re: Calcolare la norma di un operatore

20/04/2017, 22:58

Allora, vediamo un po' cosa si può dire nel caso generale...

Esercizio :

Siano \((a,b)\subseteq \mathbb{R}\), $p>= 1$ (eventualmente, anche $p=+oo$) e \(v\in C_c(a,b)\).

1. Provare che l'operatore \(V:L^p(a,b)\to L^p(a,b)\), definito ponendo:
\[
\tag{1}
V f (x) := v(x)f(x)
\]
per q.o. \(x\in (a,b)\), è un operatore lineare continuo.

2. Calcolare la norma dell'operatore $V$.

3. Sia $q>= 1$ (eventualmente, anche $q=+oo$).
Per quali coppie di esponenti $p$ e $q$ la (1) definisce un operatore lineare continuo di \(L^p(a,b)\) in \(L^q(a,b)\)?
Quanto vale la norma di $V$ in questo caso?

Re: Calcolare la norma di un operatore

21/04/2017, 17:25

Vediamo un pò:
1)se riusciamo a trovare una costante che limita il nostro operatore allora dovremmo aver trovato una risposta alla prima richiesta. Quindi considerando la disuguaglianza di Holder dovrebbe essere corretta la seguente catena di maggiorazioni : $f in L^p(a,b)=> ||V(f)||_p=(int_([a;b])|v(x)*f(x)|^pdx)^(1/p) <= Sup.ess_(x in [a;b]) |v(x)| *||f(x)||_p=C_v||f(x)||_p$ si ha inoltre che $v in C_c[(a;b)] => C_v<+oo $
Per la seconda:
Supponiamo che l'operatore, di cui abbiamo trovato il minorante fra gli estremi superiori ( $C_v$ ), abbia il sup. essenziale in $x_0$ e costruiamo la seguente funzione in $L^P(a,b)$:
$f_(delta)={0 <=> |x-x_0| >= delta, 1/delta^(1/p) <=> |x-x_0| <= delta }$ allora si nota subito che $||f_(delta)||_p^p=(int_(x_0-delta/2)^(x_0+delta/2)|1/delta^(1/p)|^p dx)=1$.
In questo modo allora:$||V(f)||_p=(2*int_(x_0-delta/2)^(x_0) |v(x)*f_(epsi)(x)|^pdx)^(1/p) <= (2/deltaC_(v,delta)^p*(x_0+delta/2-x_0))^(1/p)$. Poiché abbiamo dimostrato che $V(x_0)=C_v$ è il massimo del nostro operatore (che lo rende limitato) possiamo quindi affermare che $lim_(delta->0)(v(x_0+delta/2))=C_v$.
Ultima modifica di Boomerang il 24/04/2017, 19:45, modificato 17 volte in totale.

Re: Calcolare la norma di un operatore

21/04/2017, 21:39

Perché consideri \(\|Vf\|_1\)?
La norma operatoriale di \(V:L^p(a,b)\to L^p(a,b)\) è definita da:
\[
\| V\|_\text{op} = \sup_{f\neq 0} \frac{\| Vf\|_p}{\| f\|_p}\; \ldots
\]
In generale, se consideri un operatore $T$ da $L^p$ in $L^q$ ($p,q$ "esponenti" leciti), la norma operatoriale di $T$ è:
\[
\|T\|_\text{op} := \sup_{f\neq 0} \frac{\| Tf\|_q}{\| f\|_p}\; ,
\]
cioè l'estremo superiore dei rapporti tra la norma di $Tf$ nello spazio d'arrivo e la norma di $f$ nello spazio di partenza.

Re: Calcolare la norma di un operatore

22/04/2017, 11:43

hai ragione. Ho fatto ancora lo stesso errore ma ho corretto. Solo che vorrei togliermi un dubbio: sappiamo dal teorema di Holder che due funzioni $f in L^p(a,b)$e $ginL^q(a,b)$ con $+oo>=p>q>=1$ allora il prodotto è in $L_1(a,b)$ ma sappiamo anche che , sempre grazie ad Holder, $L^p sube L^q$ e quindi mi chiedo: se dimostro che una funzione $f$ è integrabile con modulo $p=+oo$ dovrebbe essere ovvio che essa è integrabile anche con i moduli $q$ di grado minore o uguale a $p$, o mi sbaglio? Quindi che problema c'è se dico: $||V(f)||_1 <= ||V(f)||_p <=||v(x)||_(oo) * ||f(x)||_1$? Si forse faccio un passaggio di troppo ma con tale logica non ci sarebbero errori no?
Grazie Gugo.
Un'ultima domanda: sto facendo un esercizio in cui, dato un operatore continuo, devo trovarne l'aggiunto. Basterà verificare che esso abbia la proprietà di essere Hermitiano? Inoltre che cosa significa che un se un operatore è definito su tutto lo spazio di Hilbert allora non c'è distinzione fra operatore simmetrico e autoaggiunto? In che senso $A=A^+$

Re: Calcolare la norma di un operatore

22/04/2017, 13:59

Boomerang ha scritto:sappiamo dal teorema di Holder che due funzioni $f in L^p(a,b)$e $ginL^q(a,b)$ con $+oo>=p>q>=1$ allora il prodotto è in $L_1(a,b)$

Anzitutto questo è vero se $p, q$ sono esponenti coniugati.
Boomerang ha scritto:ma sappiamo anche che , sempre grazie ad Holder, $L^p sube L^q$. [...] se dimostro che una funzione $f$ è integrabile con modulo $p=+oo$ dovrebbe essere ovvio che essa è integrabile anche con i moduli $q$ di grado minore o uguale a $p$, o mi sbaglio?

Questo è vero se purché tu stia lavorando con insiemi di misura finita (gli $L^p(X)$ sono tutti "a matrioska" se $\mu(X) < \infty$).
Boomerang ha scritto:Quindi che problema c'è se dico: $||V(f)||_1 <= ||V(f)||_p <=||v(x)||_(oo) * ||f(x)||_1$? Si forse faccio un passaggio di troppo ma con tale logica non ci sarebbero errori no?

Prendi la funzione $f(x) = 1$, $x \in [0,2]$. Chiaramente $f \in L^p(0,2)$ per ogni $1 \le p \le + \infty$, ma
\[ ||f||_1 > ||f||_2 . \]

La disuguaglianza tra le norme che hai scritto tu non è proprio così, ma c'è qualche scalare a fattore che hai perso per strada.

Re: Calcolare la norma di un operatore

22/04/2017, 14:08

Perdonate le mie imprecisioni dovute alla mia poca esperienza nell'ambito in questione... E grazie per le correzioni Seneca.
P.S.: volevo scrivere sommabile non integrabile, scusa.
Sicuramente intendi che il fattore che ho dimenticato è $1/(||f||_p)$ (cioè il fattore normalizzante) come più volte mi è stato suggerito da gugo ma di cui, se non vado errando, ho capito solo ora il senso.
Rispondi al messaggio


Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000— Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.