Matematicamente.it

Non preoccuparti, non hai ingarbugliato nulla. Grazie Gugo,, buona giornata

Allora, vediamo un po' cosa si può dire nel caso generale...

Esercizio :

Siano \((a,b)\subseteq \mathbb{R}\), $p>= 1$ (eventualmente, anche $p=+oo$) e \(v\in C_c(a,b)\).

1. Provare che l'operatore \(V:L^p(a,b)\to L^p(a,b)\), definito ponendo:
\[
\tag{1}
V f (x) := v(x)f(x)
\]
per q.o. \(x\in (a,b)\), è un operatore lineare continuo.

2. Calcolare la norma dell'operatore $V$.

3. Sia $q>= 1$ (eventualmente, anche $q=+oo$).
Per quali coppie di esponenti $p$ e $q$ la (1) definisce un operatore lineare continuo di \(L^p(a,b)\) in \(L^q(a,b)\)?
Quanto vale la norma di $V$ in questo caso?

Vediamo un pò:
1)se riusciamo a trovare una costante che limita il nostro operatore allora dovremmo aver trovato una risposta alla prima richiesta. Quindi considerando la disuguaglianza di Holder dovrebbe essere corretta la seguente catena di maggiorazioni : $f in L^p(a,b)=> ||V(f)||_p=(int_([a;b])|v(x)*f(x)|^pdx)^(1/p) <= Sup.ess_(x in [a;b]) |v(x)| *||f(x)||_p=C_v||f(x)||_p$ si ha inoltre che $v in C_c[(a;b)] => C_v<+oo $
Per la seconda:
Supponiamo che l'operatore, di cui abbiamo trovato il minorante fra gli estremi superiori ( $C_v$ ), abbia il sup. essenziale in $x_0$ e costruiamo la seguente funzione in $L^P(a,b)$:
$f_(delta)={0 <=> |x-x_0| >= delta, 1/delta^(1/p) <=> |x-x_0| <= delta }$ allora si nota subito che $||f_(delta)||_p^p=(int_(x_0-delta/2)^(x_0+delta/2)|1/delta^(1/p)|^p dx)=1$.
In questo modo allora:$||V(f)||_p=(2*int_(x_0-delta/2)^(x_0) |v(x)*f_(epsi)(x)|^pdx)^(1/p) <= (2/deltaC_(v,delta)^p*(x_0+delta/2-x_0))^(1/p)$. Poiché abbiamo dimostrato che $V(x_0)=C_v$ è il massimo del nostro operatore (che lo rende limitato) possiamo quindi affermare che $lim_(delta->0)(v(x_0+delta/2))=C_v$.

Perché consideri \(\|Vf\|_1\)?
La norma operatoriale di \(V:L^p(a,b)\to L^p(a,b)\) è definita da:
\[
\| V\|_\text{op} = \sup_{f\neq 0} \frac{\| Vf\|_p}{\| f\|_p}\; \ldots
\]
In generale, se consideri un operatore $T$ da $L^p$ in $L^q$ ($p,q$ "esponenti" leciti), la norma operatoriale di $T$ è:
\[
\|T\|_\text{op} := \sup_{f\neq 0} \frac{\| Tf\|_q}{\| f\|_p}\; ,
\]
cioè l'estremo superiore dei rapporti tra la norma di $Tf$ nello spazio d'arrivo e la norma di $f$ nello spazio di partenza.

hai ragione. Ho fatto ancora lo stesso errore ma ho corretto. Solo che vorrei togliermi un dubbio: sappiamo dal teorema di Holder che due funzioni $f in L^p(a,b)$e $ginL^q(a,b)$ con $+oo>=p>q>=1$ allora il prodotto è in $L_1(a,b)$ ma sappiamo anche che , sempre grazie ad Holder, $L^p sube L^q$ e quindi mi chiedo: se dimostro che una funzione $f$ è integrabile con modulo $p=+oo$ dovrebbe essere ovvio che essa è integrabile anche con i moduli $q$ di grado minore o uguale a $p$, o mi sbaglio? Quindi che problema c'è se dico: $||V(f)||_1 <= ||V(f)||_p <=||v(x)||_(oo) * ||f(x)||_1$? Si forse faccio un passaggio di troppo ma con tale logica non ci sarebbero errori no?
Grazie Gugo.
Un'ultima domanda: sto facendo un esercizio in cui, dato un operatore continuo, devo trovarne l'aggiunto. Basterà verificare che esso abbia la proprietà di essere Hermitiano? Inoltre che cosa significa che un se un operatore è definito su tutto lo spazio di Hilbert allora non c'è distinzione fra operatore simmetrico e autoaggiunto? In che senso $A=A^+$

Boomerang ha scritto:sappiamo dal teorema di Holder che due funzioni $f in L^p(a,b)$e $ginL^q(a,b)$ con $+oo>=p>q>=1$ allora il prodotto è in $L_1(a,b)$

Anzitutto questo è vero se $p, q$ sono esponenti coniugati.

Boomerang ha scritto:ma sappiamo anche che , sempre grazie ad Holder, $L^p sube L^q$. [...] se dimostro che una funzione $f$ è integrabile con modulo $p=+oo$ dovrebbe essere ovvio che essa è integrabile anche con i moduli $q$ di grado minore o uguale a $p$, o mi sbaglio?

Questo è vero se purché tu stia lavorando con insiemi di misura finita (gli $L^p(X)$ sono tutti "a matrioska" se $\mu(X) < \infty$).

Boomerang ha scritto:Quindi che problema c'è se dico: $||V(f)||_1 <= ||V(f)||_p <=||v(x)||_(oo) * ||f(x)||_1$? Si forse faccio un passaggio di troppo ma con tale logica non ci sarebbero errori no?

Prendi la funzione $f(x) = 1$, $x \in [0,2]$. Chiaramente $f \in L^p(0,2)$ per ogni $1 \le p \le + \infty$, ma
\[ ||f||_1 > ||f||_2 . \]

La disuguaglianza tra le norme che hai scritto tu non è proprio così, ma c'è qualche scalare a fattore che hai perso per strada.

Perdonate le mie imprecisioni dovute alla mia poca esperienza nell'ambito in questione... E grazie per le correzioni Seneca.
P.S.: volevo scrivere sommabile non integrabile, scusa.
Sicuramente intendi che il fattore che ho dimenticato è $1/(||f||_p)$ (cioè il fattore normalizzante) come più volte mi è stato suggerito da gugo ma di cui, se non vado errando, ho capito solo ora il senso.