Presi n stati indipendendi $\psi_1,\psi_2,\cdots,\psi_n$, e n "probabilità" $p_i\in [0,1]$, definisco il seguente operatore
$$\rho = \sum_i \ket{\psi_i} p_i \bra{\psi_i}$$
Mi si vuole dimostrare che quest'operatore è definito in tutto lo spazio di Hilbert. Per farlo mi fa la seguente catena di passaggi:
$$||\rho\phi||^2 = \sum_{i,j} p_i p_j (\phi,\psi_i)(\psi_i,\psi_j)(\psi_j,\phi)\leq psi_i \psi_j ||\phi||^2 = ||\phi||^2$$
Non ho ben capito cosa fa nell'ultima disuguaglianza, dice che usa il teorema di Schwarz ma moduli ne vedo pochi...mi potete far vedere come si scrive esplicitamente l'ultimo passaggio?
Inoltre,in che modo questa catena di passaggi prova che l'operatore è definito in tutto lo spazio di Hilbert?