Massimizzare Un Funzionale

[mklplo]

Salve,una delle ultime domande che feci sul calcolo delle variazioni era come trovare un possibile minimo di un funzionale,in quell'occasione mi fu detto che avrei dovuto usare l'equazioni di Eulero-Lagrange e anche i metodi diretti.In questo argomento io vi chiedo,se non vi reca disturbo,come calcolare un possibile massimo di un funzionale.

[gugo82]

Allo stesso modo.

D'altra parte, il problema di massimo per un funzionale è equivalente al problema di minimo per il funzionale opposto.

[mklplo]

Grazie per la risposta,ma che cosa si intende per funzionale opposto?

[gugo82]

Quello che ottieni mettendo un meno davanti, insomma $-I[u]$.

[mklplo]

Quindi se io avessi
$ I=int_a^b(dot(x)^2+dot(y)^2)/2 $ (che se minimizzato mi darebbe la geodetica sul piano euclideo)
per trovare il massimo dovrei minimizzare $-I$ e quindi troverei:
$ { ( d/dx(-(dotx+doty)/2)-d/dt(d((-(dotx+doty)/2))/(d(dotx))) ),( d/dx(-(dotx+doty)/2)-d/dt(d((-(dotx+doty)/2))/(d(dotx))) ):} $
tuttavia minimizzando $I$ ottengo che la curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra due punti è una retta,ma anche massimizzando ottengo lo stesso risultato,dove sbaglio secondo te?

[vict85]

Non esiste alcun massimo per quel funzionale. Insomma è evidente che puoi sempre trovare cammini più lunghi tra due punti.

[gugo82]

Come si è già detto altrove, la ricerca degli estremi di un funzionale è una questione subordinata alla loro esistenza; in altre parole, è totalmente inutile cercare un massimo lì dove non c'è... In proposito mi piace sempre citare la seguente frase:

È difficile trovare un gatto nero in una stanza buia, soprattutto se il gatto non c'è.

[mklplo]

grazie,quindi in questo caso il massimo non esiste?

[gugo82]

Tu che ne dici?

[mklplo]

ok credo di aver capito,vi ringrazio per le risposte