Visto che sono soddisfatte le ipotesi del TdL (vero? Le funzioni sono misurabili, o no? Perché?), hai:
\[
\lim_n \int_1^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x = \int_1^{+\infty} \Big( \lim_n f_n(x)\Big)\ \text{d}x\; .
\]
Ciò che rimane da fare è calcolare il limite puntuale q.o. delle $f_n$ ed integrare tale funzione sull'intervallo che ti interessa.
Per $x=1$, ok. Ma il resto?