Integrale complesso, singolarità

[WhiteC]

Salve ragazzi,
devo svolgere l'integrale lungo il bordo di D di questa funzione:
$( e^(z^2))/((z^2-1)^2sen(\pi z))$ Con $D:={ z \in C : |z-1/2|<1}$

Il procedimento mi è chiarissimo, infatti non sono qui per quello, bensì per un dubbio forse un po' stupido.
Procedo al calcolo delle singolarità.
Da $(z^2-1)^"$ ottengo che le sigolarità sono $1$ e $-1$.

Invece da $sen(\pi z )$ ho qualche dubbio.
In generale, se ho $sen(x) = 0$ posso scrivere $x=0 + 2k\pi$ v $x= \pi+ 2k\pi$

Nel mio caso avrei rispettivamente $z=0$ e $z=1$ ... $+2k\pi$.
Non potendomi trascinare il periodo, mi sono bloccato.

Mi chiedevo, poichè se al posto di $z$ sostituisco anche $2$, o comunque un altro numero per cui il seno va a 0...come devo regolarmi in questo caso? Anche con $-1$ il seno andrebbe a $0$

Risolta questa cosa so procedere. Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che:

$[sen\piz=0] harr [\piz=k\pi] harr [z=k]$

l'integrale richiede il calcolo dei residui in $z=0$ e in $z=1$, quelli appartenenti a $D$ per intenderci.

[WhiteC]

Giusto. Questa mattina dormo. Grazie mille. Farò più attenzione =P

[WhiteC]

Ma sempre in merito alle singolarità, 0 è polo di ordine 5?
1 è polo di ordine 2?

[anonymous_0b37e9]

Veramente, $z=0$ è un polo di ordine $1$ e $z=1$ è un polo di ordine $2$.

[WhiteC]

Ho problemi con il limite per $z$ che tende a $0$ di $f(z) (z)$.
Sostituendo mi trovo $0/0$, ho provato con taylor ma non me ne esco.Sicuramente sbaglio qualcosa ma non ho capito cosa.

[anonymous_0b37e9]

$lim_(z->0)zf(z)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2sen\piz)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2(\piz+o(z)))=lim_(z->0)(ze^(z^2))/(z(z^2-1)^2(\pi+o(1)))=$

$=lim_(z->0)e^(z^2)/((z^2-1)^2(\pi+o(1)))=1/\pi$

[WhiteC]

$lim_(z->0)zf(z)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2sen\piz)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2(\piz+o(z)))=lim_(z->0)(ze^(z^2))/(z(z^2-1)^2(\pi+o(1)))=$

$=lim_(z->0)e^(z^2)/((z^2-1)^2(\pi+o(1)))=1/\pi$

Grazie, nell'ultimo passaggio avevo saltato una z grazie mille!

[gugo82]

Ma che Taylor... I limiti notevoli bastano e avanzano pure!

Continuo a ripetere che non si può pensare di sostenere un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I.
Come disse il mio prof di Analisi I ad una boccianda che lamentava confusione dovuta a stato influenzale: "Signorina, ci sono cose che uno studente di Matematica deve sapere anche in punto di morte".

[WhiteC]

Sicuramente, ma Taylor è uno dei modi per risolvere la faccenda, anche se sicuramente i limiti notevoli vanno più che bene.
In ogni caso,gugo,tranquillo! Ho ancora un po' di tempo per ripassare e affinare tutti i concetti Grazie