Un omeomorfismo tra basi di spazi normati induce un operatore lineare continuo ?

[randomize]

Sia $U$ uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale separabile sul campo complesso $\mathbb{C}$ e sia $A \subset U$ numerabile, compatto, linearmente indipendente, infinito e tale che $U = span(A)$

Sia $V$ uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale separabile sul campo complesso $\mathbb{C}$ e sia $B \subset V$ numerabile, compatto, linearmente indipendente, infinito e tale che $V = span(B)$

Sia $S : A \to B$ un omeomorfismo

Sia $T : U \to V$, un elemento $u \in U$ in quanto combinazione lineare finita di $A$ si scrive $u = \sum_j c_j a_j$ con $c_j \in \mathbb{C}$ e $a_j \in A$ e sia $$T(u) = \sum_j c_jS(a_j)$$
chiaramente $T$ è un operatore lineare tra gli spazi $U$ e $V$.
La mia domanda è: $T$ è un operatore lineare continuo?
Grazie per qualsiasi suggerimento

[Boomerang]

Ma sei sicuro che sia corretto $T(v)$ e non $T(u)$? In ogni caso io credo che per capire se il tuo operatore è continuo devi verificare che $T$ sia limitato.

[randomize]

si hai ragione, ho sbagliato a scrivere, è $u$
ho corretto, grazie

[dissonance]

Non ho letto con attenzione, sinceramente, ma sento forte puzza di bruciato. Secondo me $T$ non è neanche ben definito, perché la decomposizione di \(u\) in combinazione lineare di elementi di \(A\) non è per forza unica. (A meno che l'ipotesi di compattezza di \(A\) non entri in gioco in qualche modo).

[randomize]

ho trovato la risposta (per onestà dico che l'ho cercata su un altro sito), in generale $T$ non è limitato, ma non ho capito perché hai posto l'accento sulla decomposizione di $u$ visto che $A$ è linearmente indipendente.

[Boomerang]

Io ho trovato questo, non sono sicuro che sia proprio inerente al caso ma comunque ci si può ragionare su:
TEO) Se $X$e$Y$ sono spazi vettoriali a dimensione finite allora ogni applicazione lineare $A:X->Y$ risulta limitata.

[randomize]

Grazie Boomerang ma nei casi a dimensione infinita le cose vanno diversamente

[Boomerang]

Hai ragione... Ho fatto un po' di confusione. Scusami. Comunque sia l'unica cosa che potrebbe avere una certa rilevanza è $S$ che, essendo un omeomorfismo, è sicuramente un'applicazione limitata. Su quali basi si potrebbero fare delle conclusioni riguardo $T$?

[dissonance]

ho trovato la risposta (per onestà dico che l'ho cercata su un altro sito), in generale $T$ non è limitato, ma non ho capito perché hai posto l'accento sulla decomposizione di $u$ visto che $A$ è linearmente indipendente.

Hai ragione, non era quello il problema. La cosa che puzza è un'altra: le applicazioni \(a_j\colon \mathrm{span}(A)\to \mathbb R,\ u\mapsto a_j(u)\) NON sono in generale applicazioni continue. Quindi, già con $S=\mathrm{identità}$ l'operatore $T$ non ha obbligo di essere continuo. Affinché $T$ sia continuo, a questo livello di generalità, ti servono delle ipotesi che garantiscano la continuità delle applicazioni \(a_j\). La compattezza di \(A\) non mi pare una ipotesi adeguata. So che l'argomento di analisi funzionale che studia queste cose sono le "basi di Schauder":

https://en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis

[randomize]

Boomerang purtroppo nemmeno il fatto che $S$ sia un omeomorfismo assicura che sia limitata mentre la compattezza lo fa per questo avevo 'sperato' che $T$ fosse limitato.
dissonance in generale $T$ non è limitato per cui scendendo più nello specifico del mio problema, io ho che $A \subset \ell^2$ e $B \subset \ell^1$ e le altre caratteristiche restano le stesse, comunque grazie del suggerimento, indagherò in tale direzione.