Integrazione Funzionale

[mklplo]

Salve,continuando ad cimentarmi con il calcolo delle variazioni mi sono imbattuto in un quesito;
"Conoscendo la variazione prima di un funzionale,posso ricavare il funzionale stesso?E se sì come?"
Se non vi dispiace potreste rispondere alla mia domanda?

[dissonance]

Secondo me stai bruciando troppe tappe. Questa domanda non è da porsi sui funzionali, devi prima avere capito bene il calcolo differenziale standard. "Conoscendo il gradiente di una funzione di due variabili, posso ricostruire la funzione?" È qui che devi riflettere, non su funzionali e mostri astratti.

[mklplo]

Scusa partendo dal gradiente di una funzione:
$ nablau(x,y)=( (u_x), (u_y) ) $
per ricavare la funzione originaria non mi basta prendere una delle due componenti e integrare rispetto alla giusta variabile?

[dissonance]

Prova un po' a calcolarmi la funzione originaria sapendo che
\[ \nabla u (x, y ) = \begin{bmatrix} y \\ x+1 \end{bmatrix}, \]
per favore.

[mklplo]

Penso che u(x,y) si ottenga così:
$ { ( inty dx ),(intx+1dy ):}={ ( xy+c_1 ),(xy+y+c_2 ):} $
ora poiché il secondo integrale è quello che mi restituisce un risultato che se derivato mi dà esattamente il gradiente della funzione,io credo che:
$ u(x,y)=xy+y+c $
giusto?

[dissonance]

Giusto, ma vedi come la prima integrazione ti ha dato un risultato sbagliato? Prova con questo esempio:
\[
\nabla u = (2x, 2y).\]
Se integri come fai tu ottieni i due possibili risultati $u=x^2+ C , u=y^2+ C$, entrambi sono falsi. Infatti il risultato corretto è $u=x^2+y^2+ C$.

Per ottenerlo con una sola integrazione devi calcolare questo integrale qui:
\[
U(x_0, y_0)=\int_\gamma \nabla u \cdot \vec{ds}, \]
dove \(\gamma\) è il segmento che congiunge \((0,0)\) a \((x_0, y_0)\). Si tratta di un integrale di linea, un concetto che non so se conosci. Questo concetto si generalizza ai funzionali su spazi di dimensione infinita e ti permette di recuperare un funzionale conoscendone la variazione prima (modulo un po' di dettagli tecnici che non ho controllato).

[mklplo]

Non che sia un esperto,ma io comunque ho usato alcune volte gli integrali di linea,superficie e volume,però io non ho mai lavorato in spazi infinito-dimensionali.Se non ti dispiace potresti spiegarmi il metodo per ricavare un funzionale dalla sua variazione prima?
p.s:se non sbaglio si definisce così:
$ (delta U)/(deltaf(x_i))=(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i)) $
dove
$ U=intL(x_i,f(x_i),gradf(x_i))dx_i $

[gugo82]

Occhio... Quello è il primo membro dell'equazione di Eulero del funzionale, non la variazione prima.

Inoltre, attenzione alle notazioni: vedo un po' troppe $x$ da quelle parti.

[mklplo]

Ma se il primo membro cioè:
$ (deltaU)/(deltaf(x_i) $
non è la variazione prima allora cos'è precisamente?

[gugo82]

Niente.
Infatti, quel simbolo non ha significato.

La variazione prima di un funzionale è a sua volta un funzionale (cioè una funzione definita in uno spazio di funzioni), non può essere una funzione "di punto" (cioè una funzione definita in un insieme numerico).
In particolare, la variazione prima di un funzionale $I$ "buono" sulla funzione $u$ è il funzionale lineare $\delta I_u$ che ad ogni funzione "test" $\phi$ associa il numero:
\[
\delta I_u[\phi] := \lim_{t\to 0} \frac{I[u+t\phi] - I[u]}{t} = \left. \frac{\text{d}}{\text{d} t} I[u+t\phi]\right|_{t=0}\; .
\]

Per capirci, è come se stessi commettendo l'errore di confondere la derivata prima di una funzione reale in un punto, cioè il numero \(f^\prime (x_0)\), con il differenziale della stessa funzione nello stesso punto, cioè con l'applicazione \(\Delta x\mapsto f^\prime (x_0)\Delta x\).