Integrazione Funzionale

[mklplo]

grazie,penso di aver capito,ma conoscendo la variazione prima come riottengo il funzionale?

[gugo82]

Detto rozzamente, cercando di fare i conti "al contrario", come per l'integrazione indefinita.

[dissonance]

Detto rozzamente, cercando di fare i conti "al contrario", come per l'integrazione indefinita.

Ah adesso ho capito. @mklplo: Tu hai una equazione differenziale e vuoi ritrovare un funzionale tale che le soluzioni dell'equazione ne siano i punti critici. Giusto?

[mklplo]

Penso, di sì,non è che abbia proprio capito la domanda.

[gugo82]

Sì, dissonance... La questione credo sia come si possa ricostruire un funzionale conoscendone l'equazione di Eulero-Lagrange o la variazione prima.

A quanto ne so, non c'è una tecnica standard e ci si muove sempre sugli stessi funzionali-modello (fondamentalmente perché le cose sono molto complicate appena si esce dalle strade già battute).

[mklplo]

quindi ad esempio se sapessi che:
$ (dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i))= $
$ 1/8(gradf*gradf)/(f^2)-1/4(grad^2f)/f $
cosa dovrei fare secondo voi per riottenere il funzionale?

[dissonance]

Non lo so e scommetto che stai leggendo qualcosa di fisica: queste notazioni mi sembrano tipiche dei fisici. È una questione a cui a volte ho pensato, ma non sono mai arrivato a granché come conclusione. Però mi ricordo averne parlato con un signore che si occupa di cose analoghe, e mi disse che sostanzialmente un metodo non c'è, uno va a tentativi, come dice Gugo. Questo post: https://math.stackexchange.com/question ... agrange-eq

contiene un esercizio non banale su questo argomento, e mi ricordo che lo ho trovato istruttivo.

[mklplo]

Grazie per l'aiuto a tutti e due,il problema che vi ho posto sopra l'ho preso da qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
dove però spiega come calcolare l'equazione di Eulero-Lagrange del funzionale,io mi sono semplicemente posto la domanda di come ritornare indietro,di fatto so qual'è il valore del funzionale,perché lo dà l'esercizio ma non spiega come trovarlo.

[gugo82]

Diciamo che stai pian piano capendo che ci sono problemi "difficili", perché non ci sono ricette generali per risolverli.
E questo giustifica parzialmente i nostri inviti a non buttarti a capofitto in argomenti che hanno bisogno di un po' di maturità in più per essere affrontati.

O, se proprio vuoi farlo, comincia dalle cose semplici... Insomma, mettiti in dimensione $1$ (come si dice), cioè parti dal caso di lagrangiane dipendenti da una funzione di una variabile.
Inoltre, cerca quelche riferimento un po' meglio di wikipedia, soprattutto per quel che riguarda la notazione (che a volte è davvero raccapricciante).

Il contenuto dell'articolo, a parte sottigliezze, linkato è il seguente (notazioni un po' modificate da me, ma solo per quel che riguarda i nomi delle variabili).
Se ho una lagrangiana \(L(\mathbf{x}, u, \nabla u)\) definita in \(\mathbb{R}^{n+1+n}\), il simbolo (-orrendo!!!- di cui non conoscevo nemmeno l'esistenza):
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}
\]
denota la funzione che rappresenta la variazione prima del funzionale:
\[
I[u]:=\int_{\Omega} L(\mathbf{x}, u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\ \text{d}\mathbf{x}
\]
nel senso delle distribuzioni, i.e. quella funzione tale che:
\[
\delta I_u[\phi] = \int_\Omega \frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\ \phi (\mathbf{x})\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\]
Il simbolo \(\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\) si chiama derivata funzionale di $I$ (in $u$, immagino, ma non è specificato in wiki).
Si fanno un po' di conti e si vede che vale la formula che consente il calcolo sfruttando la lagrangiana:
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\; .
\]
Qui, come d'uso sui testi di Fisica-Ingegneria, \(\nabla \cdot\) è l'operatore divergenza (rispetto alle variabili \(\mathbf{x}\)), mentre l'orrido simbolo \(\frac{\partial L}{\partial \nabla u}\) denota (a quanto mi pare di capire) il gradiente di $L$ rispetto alle ultime $n$ variabili da cui dipende.
Volendo tradurre tutto in notazioni meno orripilanti, chiamiamo \((\mathbf{x},u,\mathbf{v})\) il vettore delle variabili (numeriche!) da cui dipende $L$; allora la derivata funzionale di $I$ è l'applicazione:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \operatorname{div}\left( \nabla_\mathbf{v} L (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\right)
\]
in cui, ovviamente, il primo addendo è la derivata parziale di $L$ rispetto ad $u$ calcolata in \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\) ed il secondo è la divergenza (rispetto alle \(\mathbf{x}\)) della funzione composta che si ottiene calcolando il gradiente di $L$ rispetto alle \((\mathbf{v})\) sul vettore \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\).

Nel caso unidimensionale, la formula precedente diventa semplice:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (x,u(x),u^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left( \frac{\partial L}{\partial v} (x,u(x),u^\prime (x))\right)\; ,
\]
e si vede che fondamentalmente la fantomatica derivata funzionale altro non è che il primo membro dell'equazione di Eulero-Lagrange per $I$ calcolata in $u$.

[mklplo]

Grazie ancora per la risposta.
Quindi se io sapessi che:
$ (partialI)/(partialu)=1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2 $
e quindi
$ L-u'(dL)/(du')=int1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2du=-1/4(u')^2/u-u''ln(u)+1/8(u')^2/u $
cosa dovrei fare per trovarmi "L"?
Se non ti dispiace potreste aiutarmi a trovare un modo per rispondere a questa domanda