Diciamo che stai pian piano capendo che ci sono problemi "difficili", perché non ci sono ricette generali per risolverli.
E questo giustifica parzialmente i nostri inviti a non buttarti a capofitto in argomenti che hanno bisogno di un po' di maturità in più per essere affrontati.
O, se proprio vuoi farlo, comincia dalle cose semplici... Insomma, mettiti in dimensione $1$ (come si dice), cioè parti dal caso di lagrangiane dipendenti da una funzione di una variabile.
Inoltre, cerca quelche riferimento un po' meglio di wikipedia, soprattutto per quel che riguarda la notazione (che a volte è davvero raccapricciante).
Il contenuto dell'articolo, a parte sottigliezze, linkato è il seguente (notazioni un po' modificate da me, ma solo per quel che riguarda i nomi delle variabili).
Se ho una lagrangiana \(L(\mathbf{x}, u, \nabla u)\) definita in \(\mathbb{R}^{n+1+n}\), il simbolo (-orrendo!!!- di cui non conoscevo nemmeno l'esistenza):
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}
\]
denota la funzione che rappresenta la variazione prima del funzionale:
\[
I[u]:=\int_{\Omega} L(\mathbf{x}, u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\ \text{d}\mathbf{x}
\]
nel senso delle distribuzioni, i.e. quella funzione tale che:
\[
\delta I_u[\phi] = \int_\Omega \frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\ \phi (\mathbf{x})\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\]
Il simbolo \(\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\) si chiama
derivata funzionale di $I$ (in $u$, immagino, ma non è specificato in wiki).
Si fanno un po' di conti e si vede che vale la formula che consente il calcolo sfruttando la lagrangiana:
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\; .
\]
Qui, come d'uso sui testi di Fisica-Ingegneria, \(\nabla \cdot\) è l'operatore divergenza (rispetto alle variabili \(\mathbf{x}\)), mentre l'orrido simbolo \(\frac{\partial L}{\partial \nabla u}\) denota (a quanto mi pare di capire) il gradiente di $L$ rispetto alle ultime $n$ variabili da cui dipende.
Volendo tradurre tutto in notazioni meno orripilanti, chiamiamo \((\mathbf{x},u,\mathbf{v})\) il vettore delle variabili (numeriche!) da cui dipende $L$; allora la derivata funzionale di $I$ è l'applicazione:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \operatorname{div}\left( \nabla_\mathbf{v} L (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\right)
\]
in cui, ovviamente, il primo addendo è la derivata parziale di $L$ rispetto ad $u$ calcolata in \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\) ed il secondo è la divergenza (rispetto alle \(\mathbf{x}\)) della funzione composta che si ottiene calcolando il gradiente di $L$ rispetto alle \((\mathbf{v})\) sul vettore \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\).
Nel caso unidimensionale, la formula precedente diventa semplice:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (x,u(x),u^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left( \frac{\partial L}{\partial v} (x,u(x),u^\prime (x))\right)\; ,
\]
e si vede che fondamentalmente la fantomatica derivata funzionale altro non è che il primo membro dell'equazione di Eulero-Lagrange per $I$ calcolata in $u$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)