Buongiorno a tutti. Studiavo le distribuzioni e mi sono imbattuto nel seguente teorema:
"Se la derivata nel senso delle distribuzioni di una distribuzione $f$ è pari a $0$, allora $f$ è costante".
Uno dei passaggi cruciali della dimostrazione è il seguente (cito testualmente dagli appunti di Metodi Matematici del mio professore): "Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il mio libro aggiunge: "Inversamente ogni funzione test a integrale nullo è derivata di una funzione test".
Ecco, il mio problema è questo: non riesco a capire come si potrebbe verificare (facilmente, peraltro) che queste due affermazioni sono vere. Magari è davvero una cosa ovvia... qualcuno potrebbe, però, postarmi una dimostrazione del perché?
Inoltre ho una seconda domanda, relativa alla definzione di funzione test, che è la seguente:
"Una funzione test è una funzione di classe $C^(\infty)(RR)$ tale che il suo supporto è compatto, ove il "supporto" è la chiusura dei valori di $RR$ per i quali la funzione assume valori diversi da 0". Ciò significa che una funzione test è sempre nulla ad eccezione di un intervallo chiuso e limitato di $RR$. Mi chiedo allora: all'interno di questo intervallo, possono esserci singoli punti in cui la funzione test è nulla? La mia risposta è sì, dal momento che, essendo il supporto per definizione la "chiusura" dell'insieme di $RR$ per cui la funzione è non nulla, esso conterrebbe anche quei singoli punti incriminati e sarebbe dunque ancora un insieme compatto. E' giusto il ragionamento?
Le due domande sono in qualche modo collegate, perché altrimenti non riuscirei a spiegarmi l'esistenza di una funzione test a integrale nullo ad esclusione della funzione identicamente nulla .
Ringrazio in anticipo per ogni possibile risposta.