Buongiorno a tutti, come da titolo ho una domanda riguardo i proiettori e in particolare il loro utilizzo nel calcolo della decomposizione spettrale di una matrice.
Consideriamo, ad esempio, la matrice $ A = |(1,2),(0,3)| $
Vorrei calcolare i proiettori spettrali, e quindi la decomposizione spettrale.
Gli autovalori sono $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$.
L'autospazio relativo a $\lambda_1$ è generato dall'autovettore $|(1),(0)|$, mentre l'autospazio relativo a $\lambda_2$ è generato da $|(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))|$
(ho normalizzato).
Adesso, se calcolo i proiettori "analiticamente", sfruttando il teorema dei residui, ottengo
$ P_1 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_1} (zI - A)^{-1} dz = |(1,-1),(0,0)| $
dove $\Gamma_1$ è una curva che circonda $\lambda_1$ e $(zI - A)^{-1}$ è l'operatore risolvente
mentre $ P_2 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_2} (zI - A)^{-1} dz = |(0,1),(0,1)| $
e questi mi forniscono la giusta decomposizione spettrale.
Ora, però, io so anche che è possibile calcolare il proiettore relativo all'autospazio generato da $|(x),(y)|$ attraverso il prodotto esterno $ P = |(x),(y)| |(\bar x, \bar y)| = |(x^2,x \bar y),(\bar x y,y^2)| $
Ma calcolando i proiettori in questo modo, nel caso in questione, ottengo
$ P_1 = |(1),(0)| |(1,0)| = |(1,0),(0,0)| $ e
$ P_2 = |(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))| |(1/sqrt(2),1/sqrt(2))| = |(1/2,1/2),(1/2,1/2)| $
che sono diversi da quelli precedenti, e che comunque non mi restituiscono la corretta decomposizione spettrale.
Che cosa mi sfugge?