Salve, la mia domanda è: data una distribuzione regolare \(T_{f}\) associata alla funzione \( f : \mathbb{R} / \{ x_{0} \} \longrightarrow \mathbb{R} \) , è possibile calcolare la sua derivata \( T'_{f} \)?
In tutti gli appunti che ho trovato sull'argomento partono dal fatto che la \( f \) deve essere una funzione definita in tutto \( \mathbb{R} \), e ivi localmente sommabile.
Ad esempio, in un esercizio mi si richiede di calcolare la derivata della distribuzione regolare associata alla funzione \( f(x) = arctg ( \frac{1}{x-1} ) \), che evidentemente è del tipo \( f: \mathbb{R} / \{ 1 \} \longrightarrow \mathbb{R} \) e quindi \( f \not\in C( \mathbb{R} ) \). Mi da come soluzione che \( T'_{f} = T_{\frac{1}{(x-1)^{2} + 1}} + \pi \delta _{1} \), e il che è concettualmente intuibile visto che in 1 la funzione non è derivabile e che \( f(1^{-}) = - \frac{\pi}{2}\) , \(f(1^{+}) = \frac{\pi}{2} \)... ma il fatto è che in 1, la f non è neanche definita!
Quindi è sufficiente che la funzione abbia un numero finito di punti di non derivabilità anche se su quei punti non è definita?