confronto fra operatori

[Maxandri]

Ho due operatori definiti in \[L^2(-\pi ,\pi )\] definiti così
\[Tf(x)=e^{ix}f(x)\]
\[Sf(x)=i\frac{d}{dx}f(x)\]
O=ST
Devo dire se sono unitari, autoaggiunti, se possono essere resi autoaggiunti, trovare il ker di O e gli autovettori/autovalori.
Parto con il primo \[\int f^*Tg=\int f^*e^{ix}g=\int e^{ix}fg\] quindi sembra che T+=T ed è unitario per x=1/2i
Con il secondo ho più dubbi ma provo \[\int f^*i\frac{d}{dx}g(x)=\int ii \frac{d}{dx}fg \rightarrow S^+=-\frac{d}{dx}\] e non è autoaggiunto.Se faccio \[S^+Sf(x)=-\frac{d}{dx}(i\frac{d}{dx}f(x))\] mi viene una derivata seconda?!? E qua mi blocco

[Maxandri]

up

[dan95]

$T$ è unitario se conserva il prodotto scalare, ovvero che $(f,g)=(Tf,Tg)$, per l'operatore $Tf=e^{ix}$ questo è verificato infatti
$(f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}g^{\ast}f=(Tf,Tg)=\int_{-\pi}^{\pi}(e^{ix}g)^{\ast}(e^{ix}f)=\int_{-\pi}^{\pi}g^{\ast}f$
L'altro no...


$T$ è autoaggiunto se $(Tf,g)=(f,Tg)$, verificalo...

[Maxandri]

\[\int (f^*e^{ix})g=\int e^{-ix}f^* g=(f,e^{-ix}g)\] quindi neanche la prima è autoaggiunta!
Come può essere resa tale?
Se faccio la stessa cosa per O=TS trovo (giusto?)
\[\int (e^{ix}i\frac{d}{dx}f)^*g=\int -f^*e^{-ix}i\frac{d}{dx}g \neq \int f^*e^{ix}i\frac{d}{dx}g \] quindi non è autoaggiunta. Può essere resa tale?

[dissonance]

HINT: Uno è unitario e l'altro autoaggiunto. Non ti incasinare e fai i conti come Dio comanda. Ricordati che quando integri per parti devi cambiare un segno.