funzioni e sottospazi

[mic_1]

L'esercizio mi chiede di verificare che la funzione $f_+(x) (f_-$$(x) )$ appartenga al sottospazio $ V_+(V_- ) $ delle funzioni pari (dispari) , ma vedo che nello svolgimento dell'esercizio verifica solo che
$f_+(-x) = f_+(x)$
e
$f_- $ $(-x) = - f_-$ $(x)$

Mi chiedo, è sufficiente questo?

Grazie

[gugo82]

E che ne sappiamo?
Dipende da come sono definiti gli spazi di funzioni che hai sotto mano (e che nel post non definisci).

[mic_1]

Si scusami... $ f \in L^2 (R) $

Inoltre non ho capito se è da considerare una funzione alla volta o come funzione prodotto delle due (1 pari e 1 dispari) dato che parte viene messa tra parentesi.

[mic_1]

In primo acchito mi è sembrata un'unica funzione ma poi guardandoci meglio le considera singolarmente. Giusto? perchè inserisce la parentesi per le negative.

Sbaglio se penso che verifica che una funzione pari è ancora pari cambiando la x ? idem per la dispari
e che quindi una funzione ancora pari appartenga al sottospazio pari? E' così?

Il prodotto di una funzione pari e una dispari è ancora dispari per cui le due funzioni sono ortogonali rendendo a loro volta ortogonali i relativi sottospazi che messi in somma diretta formano l'intero spazio.

E' sufficiente questo per la verifica?

[mic_1]

Nessuno che mi possa dire SI o NO? Grazie

[dissonance]

Buh, che casino. A me sembra molto più semplice: una funzione $f$ è pari se e solo se $f(-x)=f(x)$. È dispari se e solo se $f(-x)=-f(x)$.

[mic_1]

Ti ringrazio sulle funzioni pari e dispari ho poi chiarito diversamente. A me interessa più che altro capire se per verificare che appartenga al sottospazio non ci sia altro da dimostrare.

[dissonance]

Che altro devi dimostrare? "Appartenere al sottospazio delle funzioni pari" è un altro modo di dire "essere una funzione pari". Non so poi cosa intendi con "ho chiarito diversamente", ma se sei contento io non voglio indagare

[mic_1]

Ah quindi è la stessa cosa. Ottimo! Grazie Dissonance!
Con "ho chiarito diversamente" vuol dire che ho approfondito i vari concetti di funzione pari e dispari senza prendere le sole formule risultanti.