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Ho recentemente sostenuto un esame in cui un quesito chiedeva di verificare quale delle seguenti è una distribuzione temperata:
\( \sum_{n = 1} ^{+\infty}n\delta_n \;\;\;e^{-|x|}\;\;\;log|x|\;\;\;e^{|x|} \)

La prima dovrebbe essere temperata in quanto si riduce a una serie di delta, che sono temperate. La seconda è temperata in quanto si tratta di una funzione sommabile. La quarta posso dimostrare che non sia sommabile prendendo come funzioni test:
\( \eta(x)=\begin{cases} e^\frac{1}{x^2-1} \;se\;|x|<1 \\ 0\;altrove \end{cases} \\
\eta_n(x)=\frac{1}{2^n}\eta(x-n) \)

La successione va a 0 nello spazio $ \mathcal{S }(\mathbb{R}) $ , ma il funzionale associato diverge. Per il logaritmo? Come si fa? Mi sa di non temperata, ma non ho idea di come mostrarlo. Sempre dando per scontato che il resto dei ragionamenti sia esatto.

Il logaritmo è facile, localmente è sommabile e all'infinito ha crescita lenta. ("Crescita lenta", in questo contesto, significa che una funzione $f$ può essere scritta come $f=P* u$ dove $P$ è un polinomio e $u\in L^\infty$, ovvero che la crescita all'infinito è al più polinomiale). Non ho capito cosa concludi su $e^{|x|}$. Anche l'argomento per il "pettine di Dirac" mi pare incompleto. Per esempio, la distribuzione $\sum_{n=1}^\infty e^{n^2} \delta_n$, secondo te, è temperata?