Funzione hölderiane e funzioni limitate

[pollon87]

Ho un dubbio che mi assale in quanto non riesco a vedere aldilà del mio naso in questa affermazione:

" una funzione non limitata può essere hölderiana "

Una funzione \(\displaystyle f \) è hölderiana se esiste una costante \(\displaystyle L \) ed \(\displaystyle \alpha\in]0,1[ \) tali che \(\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha} \)
Quindi se \(\displaystyle f \) è höderiana allora \(\displaystyle |f(x)-f(y)| \) è limitato. Ok. Ma ciò implica \(\displaystyle f \) limitata?

Mi sta sorgendo questo dubbio nell'ambito del controesempio di de giorgi per i sistemi ellittici. Qualcuno mi sa fare un quadro generale della situazione?
Grazie

[dissonance]

Considera \(f(x)=\sqrt{x}\) su \(x\in\mathbb R\) e \(\alpha =\frac12\).