Coercività forma bilineare

[studentemat]

Ciao a tutti,
devo mostrare che la seguente forma bilineare è continua e coerciva
$$
a(u,v)=\int_0^1 u'(x)v'(x) dx + \beta \int_0^1 u(x)v(x) dx\,\,\, \forall v\in V=H^1_0(0,1)
$$
con $\beta$ costante positiva.

Per la continuità sono a posto.

Per la coercività invece faccio questo calcolo

$$
a(u,u)= \int (u')^2+\beta \int u^2= || u' ||^2_{L^2(0,1)}+\beta|| u ||^2_{L^2(0,1)}= ***
$$

da qui la mia idea è quella di aggiungere e togliere $ || u ||^{2}_{L^2(0,1)}$ così ottengo
$$
*** = || u' ||^2_{L^2(0,1)}+|| u ||^2_{L^2(0,1)}+\beta|| u ||^2_{L^2(0,1)}-|| u ||^2_{L^2(0,1)}= ||u||^2_V+(\beta-1)||u||^2_{L^2(0,1)}
$$
ma ad occhio direi che se $\beta>1$ allora non ho coercività (ma la $a(.,.)$ dev'essere coerciva per ogni $\beta$)

Mi sapete dire dove sta l'inghippo??

[dissonance]

Se $\beta>1$ allora hai la stima $a(u, u)\ge \|u\|_{H^1_0}^2$. Se $\beta=1$ allora $a(u, u)$ è esattamente la norma di $H^1_0$ (al quadrato). Se $\beta <1$ il tuo argomento non va bene. Prova a dimostrare che \(a(u,u)\ge \beta \|u\|_{H^1_0}^2\) invece.