Ciao a tutti! Ho un dubbio sul seguente teorema:
Siano $X$ uno spazio di Banach e $Y$ un suo sottospazio chiuso: allora $Y^\text{*}$ è isometrico in modo naturale a $X^\text{*}/(\text{Ann}(Y))$
Penso di aver capito la dimostrazione, ma non mi è chiaro perché la chiusura di $Y$ sia un'ipotesi necessaria. Provo a scrivere quello che ho pensato:
- la mappa di restrizione $i^\text{*}:X^\text{*} \rightarrow Y^\text{*}$ è sempre suriettiva e ogni elemento del codominio ha una controimmagine con la stessa norma: segue da Hahn-Banach, che non ha ipotesi sulla topologia;
- $\text{Ann}(Y)$ è sempre un sottospazio chiuso (e quindi è ben definita la norma sul quoziente): posso vederlo come intersezione degli annullatori dei singoli vettori di $Y$;
- $i^\text{*}$ si fattorizza sia come funzione continua sia come mappa lineare, e si ottiene una corrispondenza biunivoca che conserva norma (e quindi è un'isometria lineare): segue tutto da quanto detto in precedenza.
C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie in anticipo!