Dubbio analisi complessa

da **mic_1** » 23/06/2017, 12:46

Ciao ragazzi, sto cercando di svolgere questo esercizio ma ci sono dei passaggi che non capisco. Qualcuno potrebbe illuminarmi? Grazie

Esercizio: Verificare $ I= int_(0)^(oo) dx/[x^alpha (1+x)] = \pi/sin (\pialpha ) $

Io procedo seguendo i teoremi dell'analisi complessa: $ int_(0)^(oo) f(x) dx = 1/2 int_(oo)^(oo) f(x) dx = \pii sum Res f(x) $

Ho un polo semplice per $ z=-1 $ e calcolo il residuo ottenendo $ 1/z^alpha $ e sostituisco $ z = rho (cos \pi + isin \pi) $ che per $ rho =1 -> z = e^(i\pi) $ e quindi $ z^alpha = e^(i \pi alpha) $

Ora.... Nello sviluppo dell'esercizio $ I = (2\pii)/(1 - e^-(2 \pii alpha )) (1/z^alpha) = (2\pii)/(1 - e^-(2 \pii alpha )) (1/e^(\pii alpha)) $
Non capisco dove prende questo $ 2/(1 - e^-(2 \pii alpha ) $ Grazie!