Fourier, risoluzione derivate parziali secondo grado complessa

[johndee]

Salve a tutti,

non riesco a capire come mettere a sistema le soluzioni di una equazione alle derivate parziali di second'ordine per il calcolo della soluzione particolare date le condizioni iniziali.

il problema è il seguente:

$ (partial^2U)/(partial t^2) = 16 (partial^2U)/(partial x^2) $

con $ Ux(0,t)=Ux(4,t)=0 $ per $ t>=0 $
e $ U(x,0) = 2cos(5pix) +cos(3/4pix) $ per $ 0<=x<=4 $

quindi, applico la trasformata coseno di fourier posta $ u(n,t) = F c {U(x,t)} $

e il tutto diventa $ (d^2u)/dt^2 = - eta^2 pi^2 u $

con polinomio caratteristico $ lambda^2 + eta^2pi^2 = 0 $
che non è altro che una eq. differenziale di secondo ordine omogenea con $ Delta <0 $
che presenta le due soluzioni $ lambda = +- etapi i $

quindi $ u(n,t) = Acos(etapix) + B sin(etapix) $ con $ u(n,0) = Acos(etapix) + B sin(etapix) $

posto precedentemente $ u(n,0) = Fc{U(x,0)} = int_(0)^(4) (2cos(5pix) + cos(3/4pix))cos(etapix/4)dx $

risulta $ u(n,0)= int_(-4)^(4) cos(5pix)cos(etapix/4)dx + 1/2int_(-4)^(4)cos(3/4pix)cos(etapix/4)dx $

il primo integrale presenta come soluzioni $4$ per $ n=20$ et $ 0 $ per $ n != 20 $
il secondo integrale, invece $ 2 $ per $n=3/2$ et $ 0 $ per $n!=3/2$

a questo punto non capisco come impostare il sistema per il calcolo dell'integrale particolare e dei coefficienti A e B dato che verrebbe:

${ ( Acos(etapix) + B sin(etapix)=4 ),( Acos(etapix) + B sin(etapix)=0 ):}$
con la prima eq. per $ n=20$ e la seconda per $ n != 20 $

e ${ ( Acos(etapix) + B sin(etapix)=2 ),( Acos(etapix) + B sin(etapix)=0 ):}$
con la prima eq. per $ n=3/2$ e la seconda per $ n != 3/2 $

[ciampax]

Ma non manca una condizione?