Olomorfismo vs. Differenziabilità

[Studente-fisica]

Ciao a tutti!
Durante questa calda sessione mi sono incappato nelle funzioni di variabile complessa ed ho scoperto di avere pesantissime lacune anche nell'analisi di base.
Tutto è nato quando ho incontrato la definizione di funzione olomorfa. Le dispense del mio professore, a mio parere, pur dando tutte le definizioni corrette, creano qualche dubbio al lettore.
Tutto procede su due staffe: si definisce innanzitutto per le funzioni complesse l'olomorfismo come $ f(z_0+w) - f(z_0) = \gamma w + \omega (w) |w| $, con $ \omega (w)$ che tende a zero per $w$ che tende a zero. Poi si passa ad analizzare le funzioni complesse come funzioni di due variabili reali, differenziabili se $ f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) = \alpha h + \beta k + \omega (h,k)(h^2+k^2)^(1/2) $, con $ \omega (h,k)$ che tende a zero per $h$ e $k$ che tendono a zero... Tralasciando il fatto che fatico a comprendere entrambe in quanto non riesco a vedere rapporti incrementali, le due definizioni sono equivalenti?
Per risolvere la questione sostiene: "saremo interessati alle funzioni differenziabili con una richiesta ulteriore rispetto alle normali funzioni di due variabili reali, ovvero che $h$ e $k$ compaiano solo nella combinazione $w=h+ik$
Insomma, per le funzioni complesse olomorfismo e differenziabilità sono la stessa cosa?
P.S. Nelle mie varie ricerche online ho trovato spessissimo sia il termine differenziabilità, che il termine derivabilità... So che si tratta di un dubbio da Analisi I, ma si tratta proprio della stessa cosa? Ho sempre dato la questione per scontata, ma ora le mie sicurezze iniziano a vacillare!
Grazie mille a chiunque deciderà di dedicarmi del tempo

[Seneca]

La questione è un po' sottile. Rispondo subito dicendoti che la differenziabilità di una funzione di due variabili reali non equivale all'olomorfia, bensì è implicata dall'olomorfia.

Inoltre tutte le funzioni $f(x,y)$ le si può scrivere come $f(z)$, dato che (insiemisticamente) si può identificare il piano $\RR^2$ con $\CC$, cioè anziché scrivere $(x,y)$ si scrive $x + i y$ ed è solo una questione di notazione.

La funzione $f : A \subset \RR^2 \to \RR^2$ è differenziabile in senso reale se esiste un'applicazione lineare $L : \RR^2 \to \RR^2$ tale che
\[ f(\textbf{x} ) - f(\textbf{x}_0) = L ( \textbf{x} - \textbf{x}_0 ) + \omega(\textbf{x}) \|\textbf{x} - \textbf{x}_0 \| \]
dove \(\omega(\textbf{x}) \to 0 \) per \( \textbf{x} \to \textbf{x}_0\).

Quindi la nozione differenziabilità che conoscevi dai corsi precedenti, scritta formalmente in un modo un po' diverso da quella che hai riportato tu, è legata all'esistenza di una applicazione lineare che è il differenziale (precisamente il differenziale è $\RR$-lineare, andando a riguardare $\RR^2$ come spazio vettoriale sul campo $\RR$).

Se si considera per $f : A \subset \CC \to \CC$ la derivabilità in senso complesso (olomorfia), questa corrisponde all'esistenza di un'applicazione $\gamma$ che è $\CC$-lineare (cioè si guarda a $\RR^2$ come spazio vettoriale sul campo $\CC$ e non sul campo $\RR$ !).

Che legami ci sono tra le due nozioni di differenziabilità? Le applicazioni $\CC$-lineari sono anche $\RR$-lineari, ma non è vero il viceversa. Dal confronto di queste due condizioni saltano fuori le equazioni di Cauchy-Riemann.

[Studente-fisica]

Grazie mille! Un dubbio però mi rimane: dico la stessa cosa se sostengo che una funzione complessa a variabile complessa è derivabile e che è olomorfa? Le due diciture sono completamente equivalenti?

P.S. Continuo a fare molta fatica con le formule scritte nella domanda precedente. In Analisi II avevamo sempre e solo parlato di rapporto incrementale... La definizione che ho trascritto immagino abbia un qualche legame con esso, ma non riesco proprio a vederlo! Qualcuno saprebbe darmene delucidazioni? Grazie ancora.

[dissonance]

La risposta di Seneca è eccellente e consiglio di rifletterci sopra un bel po'. Aggiungo il mio punto di vista sperando di non portare confusione.

$ f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) = \alpha h + \beta k + \omega (h,k)(h^2+k^2)^(1/2) $, con $ \omega (h,k)$ che tende a zero per $h$ e $k$ che tendono a zero... [...] non riesco a vedere rapporti incrementali[...]

Ecco i rapporti incrementali che ti piacciono tanto ( ):
\[
\alpha= \lim_{h\to 0} \frac{ f(x_0+h+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h},\quad \beta=\lim_{k\to 0} \frac{f(x_0+i(y_0+k))-f(x_0+iy_0)}{k}.\]
Di solito si scrive, non sorprendentemente,
\[
\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+iy_0)\quad \beta=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+iy_0).\]
L'esistenza di questi due limiti si chiama, di solito, "derivabilità parziale" ed è una richiesta che in pratica non serve a niente. L'esistenza della formula nel quote si chiama "differenziabilità" (in senso reale) ed è la richiesta che ti permette di fare calcolo differenziale reale al primo ordine (Taylor al primo ordine, punti critici...).

Se si è differenziabili in senso reale e sono verificate le equazioni di Cauchy-Riemann, allora si è differenziabili in senso complesso, nel senso che gli sviluppi di Taylor si possono fare nel senso dell'algebra lineare complessa. Magicamente, questa condizione è equivalente all'esistenza del limite del rapporto incrementale in senso complesso, cosa assolutamente non ovvia e a cui è dedicato un intero libro (e forse anche molti altri che non conosco).

[Studente-fisica]

Grazie mille per i chiarimenti!