Z Trasformata

[Allee]

Salve, vi scrivo per un aiuto sul seguente esercizio:

Data la successione definita per ricorrenza:
$ { ( u_(n+2)-4u_(n+1)-5u_n=(-1)^n ),( u_0=0 ),( u_1=0 ):} $
Determinare il termine $ u_(20) $ della successione.

Dunque partendo dalla definizione di Z Trasformata: $ A(z)=sum_(n =0)^(oo ) a_n 1/z^n $
per risolvere l'esercizio provo a ricondurmi alla formula: $ a_n=-Res(A(z)z^(n-1), oo) $

Nel caso in esame procedo moltiplicando primo e secondo termine per $ z^(-n) $
$ u_(n+2) 1/z^n= (-1)^n+4u_(n+1)1/z^n+5u_n1/z^n $
Per ricondurmi alla definizione di Z Trasformata
$ z^2 sum_(n =0) ^(oo)u_(n+2)1/z^(n+2)= sum_(n =0) ^(oo)(-1)^n 1/z^n+4zsum_(n =0) ^(oo)u_(n+1) 1/z^(n+1)+5sum_(n =0) ^(oo)u_n 1/z^n $

Da questo punto come devo procedere per utilizzare la formula scritta in precedenza per la determinazione del termine $ u_(20) $ ?
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte, questo è il primo esercizio che tento di risolvere sull'argomento e dunque mi scuso per i probabili errori. Aggiungo inoltre il fatto di essere un po' arrugginito sugli argomenti trattati.

[gugo82]

Vediamo un po'...

Chiamiamo $U(z)$ la \(\mathcal{Z}\)-trasformata di $(u_n)$, ossia poniamo:
\[
U(z) = \mathcal{Z}[u_n](z):= \sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{z^n}\; .
\]
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[u_{n+1}](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u_{n+1}}{z^n}\\
&= z\ \sum_{n=0}^\infty \frac{u_{n+1}}{z^{n+1}}\\
&\stackrel{k=n+1}{=} z\ \sum_{k=1}^\infty \frac{u_{k}}{z^{k}}\\
&=z\ \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{u_{k}}{z^{k}} - u_0\right)\\
&=z\ U(z) - u_0\ z\\
\mathcal{Z}[u_{n+2}](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u_{n+2}}{z^n}\\
&= z^2\ \sum_{n=0}^\infty \frac{u_{n+2}}{z^{n+2}}\\
&\stackrel{k=n+2}{=} z^2\ \sum_{k=2}^\infty \frac{u_{k}}{z^{k}}\\
&=z^2\ \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{u_{k}}{z^{k}} - u_0 - \frac{u_1}{z}\right)\\
&=z^2\ U(z) - u_0\ z^2 - u_1\ z\; ,
\end{split}
\]
dunque, sfruttando la linearità e le condizioni iniziali, la \(\mathcal{Z}\)-trasformata del primo membro della tua ricorrenza è:
\[
z^2\ U(z) - u_0\ z^2 - u_1\ z - 4(z\ U(z) - u_0\ z) - 5U(z)= (z^2-4z-5)\ U(z)\; .
\]
Analogamente, la trasformata del secondo membro è:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{z^n} = \sum_{n=0}^\infty \left( -\frac{1}{z}\right)^n =\frac{1}{1+\frac{1}{z}} = \frac{z}{z+1}\; ;
\]
pertanto la versione $\mathcal{Z}$ della ricorrenza è:
\[
(z^2-4z-5)\ U(z) = \frac{z}{z+1}
\]
da cui si ricava:
\[
U(z) = \frac{z}{(z+1)(z^2-4z-5)} = \frac{z}{(z+1)^2(z-5)}\; .
\]
Per calcolare solo $u_(20)$, allora, ti basta sfruttare la formula che hai citato e calcolare:
\[
u_{20} = \operatorname{Res}\left[ U(z)\ z^{19}; \infty\right]=\operatorname{Res}\left[\frac{z^{20}}{(z+1)^2(z-5)}; \infty \right]\; .
\]

[Allee]

Grazie di cuore per la disponibilità e la chiarezza.