Appartenenza funzione a spazi $L_p$

[Archwing]

Ciao a tutti. Ho difficoltà con il seguente esercizio:

Determinare a quali spazi di Lebesgue $L_p(\mathbb{R})$, con $1 ≤ p ≤ ∞$, appartiene $f(x) ≡ {1 − cos x}/|x|^\alpha$ con $\alpha$ reale.

Per $\alpha<0$ la funzione non appartiene a nessuno spazio di Lebesque, poichè non è limitata.

Per $\alpha=0$ la funzione diventa $f(x) ≡ 1 − cos x$ che appartiene solo a $L_{\infty}(\mathbb{R})$, poichè ha un massimo in $2$.

Ma non capisco come agire per $\alpha>0$.

Potete, per favore, aiutarmi?

Il risultato del professore per $\alpha>0$ è il seguente:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f ∈ L_{p} (\mathbb{R})$ per $1/α < p < 1/(α − 2)$

[Raptorista]

È solo questione di fare un integrale improprio, no?

[Archwing]

Grazie della risposta.

[dissonance]

Devi imporre che l'integrale improprio \(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p\, dx\) sia convergente. Le difficoltà sono intorno a \(x=0\) e \(|x|\to \infty\). Intorno a zero, sviluppa il numeratore secondo Taylor e usa il cosiddetto "criterio del confronto asintotico". Otterrai una prima condizione su \(\alpha\). Ad infinito l'analisi è ancora più facile perché sostanzialmente il numeratore non ti serve a niente (lascio a te di formalizzare questa affermazione). Questo ti darà una seconda condizione su \(\alpha\).

Alla fine devi scrivere i valori di \(p\) per cui entrambe le condizioni sono verificate simultaneamente.