Funzione $C^\infty$

[Wilde]

Volevo chiedere se qualcuno poteva darmi un parere riguardo la seguente affermazione.
Sia $f\in C^\infty(\RR\ \text{x}\ \RR^d)$ e sia $g\in\L^2(\RR^d)$ allora la funzione
\[
F:R \to L^2( R^d) \quad [F(t)](x)=f(t,x)g(x)
\]
è $C^\infty(\RR,L^2(\RR^d))$.

Io mi trovo in un caso speciale in cui questa affermazione vale; mi chiedevo se valeva però in generale come scritto sopra.
Grazie per l'aiuto.

[dissonance]

È vero, dimostralo per esempio col teorema di convergenza dominata.

[Wilde]

Riguardandola mi sembra che non abbia molto senso perchè chiaramente non è ben definita in generale (dato che $C^\infty \L^2 \notin \L^2$ in generale).
Immagino che tu forse abbia sottinteso l'ipotesi $fg\in \L^2$.
Ma anche con questa ipotesi aggiuntiva non sono sicuro sia vero (forse mi perdo in un bicchiere d'acqua)
Mi spiego meglio:
Proviamo prima di tutto che è continua (provando a usare convergenza dominata) cioè che $|f(t,.)g-f(h,.)g \ |_2 \to 0$ per $t\to h$ (h fissato).
$|f(t,.)g-f(h,.)g \ |_2=|(f(t,.)-f(h,.))g \ |_2$.
Dovrei ora cercare di maggiorare $|f(t,x)-f(h,x)|$ con qualcosa che non dipenda da $t$.
Qui io avevo pensato di usare teorema di Lagrange:
Cioè fissato $x$, $|f(t,x)-f(h,x)|\le \partial_1f(c_{x,t},x)(t-h)|$
Ma come controllo $c_x$ e cosa mai può essere strana la derivata parziale di $f$ (so solo che è $C^\infty$).

Mi sembra necessario aggiungere quelche ipotesi su decadimento della funzione $f$ e delle sue derivate.

[dissonance]

**EDIT** In quanto segue, \(f\) è \(C^\infty_c\), ovvero oltre ad essere \(C^\infty\) ha anche supporto compatto.

Se \(g\in L^2\) e \(f\in L^\infty\) allora
\[
\int |fg|^2\le \| f\|_{L^\infty}^2 \int |g|^2<\infty,\]
quindi il prodotto è in \(L^2\). Quanto al rapporto incrementale, hai ragione a procedere così, ma ricorda che se \(f\in C^\infty_c\) allora anche tutte le sue derivate sono \(C^\infty_c\). Questo ti fornisce il decadimento delle derivate di \(f\) di cui hai bisogno.

PS: Ah ecco non avevo visto che nel tuo post originale tu richiedi solo \(f\in C^\infty\) e non il supporto compatto. Questo rende la cosa più difficile. Bisogna aggiungere l'ipotesi che \((\partial^t)^k f(t, \cdot)g(\cdot)\in L^2\) per ogni \(t\in \mathbb R\) e ogni \(k\in\mathbb N\), il che significa richiedere decadimento di \(f\) e delle sue derivate per \(|x|\to \infty\), esattamente come hai giustamente detto tu. Con questa ipotesi dovrebbe andare tutto a posto.