Esempio di operatori non limitati

[mic_1]

Mi sono accorta che all'orale il prof richiede molto gli esempi.
Ha chiesto esempi di operatori limitati e non limitati. Ora, non so se ho capito bene ma ho sentito un " n operatore".
Può essere? Che intendesse dire An operatore?
Potreste farmi in caso un esempio reale di operatori limitati.
Inoltre ha chiesto anche esempi di spazi non di banach e quindi non completi. Mi sembra che i numeri razionali come sottospazio dei numeri Rn, sp.di Ban, siano normati ma non completi. Giusto?
Cercando non ho trovato nulla sugli operatori non limitati... Grazie

[mic_1]

se qualcuno potesse illuminarmi ne sarei grato. Ho pochi giorni ancora a disposizione...

[mic_1]

Ho letto in uno dei vostri post che il differenziale d/dx è un operatore non limitato? mentre -id/dx ? non ritrovo la pagina.

[otta96]

Io questi argomenti non li conosco, però ad una cosa posso risponderti sperando che altri ti rispondano sulle altre cose:

Inoltre ha chiesto anche esempi di spazi non di Banach e quindi non completi. Mi sembra che i numeri razionali come sottospazio dei numeri Rn, sp.di Ban, siano normati ma non completi. Giusto?

Giusto.

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mi fa un po' sorridere questo approccio agli esami pieno di insicurezza. Andare a vedere gli esami degli altri per capire "che cosa vuole il prof", secondo me, serve solo a riempirsi di ansia inutilmente. Meglio studiare per proprio conto, autovalutarsi, andare serenamente all'esame con la consapevolezza di ciò che si sa. Questo è quello che farebbe una persona adulta.

L' " n - operatore " era probabilmente una roba del genere:
\[
T(x_1, x_2, x_3, x_4 \ldots x_n \ldots) = (x_1, 2x_2, 3x_3, 4x_4, \ldots nx_n \ldots)\]
con dominio \(D(T) = \{ (x_1, x_2 \ldots ) \in \ell^2 \ :\ (x_1, 2x_2, 3x_3 \ldots nx_n\ldots)\in \ell^2\}\). Però per queste cose ti devi leggere almeno una pagina di un libro di analisi funzionale con la definizione di operatore non limitato, scegli il libro proposto dal titolare del corso.

Quanto allo spazio non completo, quello che hai dato non va bene perché non è un \(\mathbb R\)-spazio vettoriale. Pensa piuttosto a spazi di funzioni. Per esempio, lo spazio vettoriale \(C^1(0, 1)\) dotato della norma del sup è completo?

[mic_1]

So di chiudere molto ma potresti farmi esempi di operatori limitati e operatori non limitati spiegandomi brevemente il perché?
Sicuramente tutto è legato alla continuità dell'operatore..

Grazie! Ho urgenza!

[dissonance]

Mi dispiace, non posso rispondere a questa domanda, sarebbe privo di senso. Apri un qualunque libro di analisi funzionale e leggi le prime due pagine. Questo si può fare anche in una situazione di urgenza.

[mic_1]

Ho l'esame lunedì e non ho nessun altro testo di analisi funzionale che non sia quello del prof.

[mic_1]

non trovo da nessuna parte la definizione di operatore non limitato.
Sicuramente deve essere definito in un dominio dell'operatore appartenente allo spazio stesso, ma l'unica cosa che mi verrebbe da pensare è che non verifichi la proprietà di limitatezza, però un esempio reale non saprei farlo. Forse un caso di operatore illimitato? quindi a infinite dimensioni?
Il differenziale effettivamente non è continua. il prof cmq non chiede verifiche in merito ma solo un esempio reale senza addentrarsi troppo.

[dissonance]

L'esempio più standard possibile è proprio quello del mio post precedente. Quell'operatore $T$ non è limitato, e lo puoi vedere velocemente considerando la successione $e_n=(0,0,\ldots , 0, 1, 0, \ldots )$, dove \(1\) è nella \(n\)-esima posizione. Questa successione è limitata perché \(\|e_n\|_{\ell^2}=1\) ma la sua immagine non è limitata perché \(\|Te_n\|_{\ell^2}=\sqrt{n}\to \infty\).

Quanto alla definizione di operatore non limitato, puoi consultare Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Unbounded_operator

Ti servono solo le prime tre righe della voce "Definitions and basic properties", non ti avventurare negli operatori chiusi e densamente definiti.