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Mi fa un po' sorridere questo approccio agli esami pieno di insicurezza. Andare a vedere gli esami degli altri per capire "che cosa vuole il prof", secondo me, serve solo a riempirsi di ansia inutilmente. Meglio studiare per proprio conto, autovalutarsi, andare serenamente all'esame con la consapevolezza di ciò che si sa. Questo è quello che farebbe una persona adulta.
L' " n - operatore " era probabilmente una roba del genere:
\[
T(x_1, x_2, x_3, x_4 \ldots x_n \ldots) = (x_1, 2x_2, 3x_3, 4x_4, \ldots nx_n \ldots)\]
con dominio \(D(T) = \{ (x_1, x_2 \ldots ) \in \ell^2 \ :\ (x_1, 2x_2, 3x_3 \ldots nx_n\ldots)\in \ell^2\}\). Però per queste cose ti devi leggere almeno una pagina di un libro di analisi funzionale con la definizione di operatore non limitato, scegli il libro proposto dal titolare del corso.
Quanto allo spazio non completo, quello che hai dato non va bene perché non è un \(\mathbb R\)-spazio vettoriale. Pensa piuttosto a spazi di funzioni. Per esempio, lo spazio vettoriale \(C^1(0, 1)\) dotato della norma del sup è completo?