Integrale in campo complesso: Formula di Cauchy

[M.lle Palomar]

Ciao!!

Mi trovo a dover calcolare il seguente integrale:

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Fattorizzando il denominatore si ottiene: (2z-i) (2z+i)
Dunque il dominio di olomorfia dell'integranda: C\{ +-i/2}

Io vorrei utilizzare la formula di Cauchy come segue:
definisco $f_1(z)=(Im[z])/ (2z+i)$ che è olomorfa su e dentro la curva (giusto?) e poi applicherei la formula di cauchy:
$ int_gamma (Im(z))/((2z+i)(2z-1))=int_(gamma)^() f_1(z)/(2 z -i) dx =1/2*2pif_1(i/2) $
ma il risultato non corrisponde con quello del libro e non riesco a capire proprio perchè.

Probabilmente ho fatto confusione da qualche parte, illuminatemi!

Grazie in anticipo!

[gugo82]

Beh, dato che \(\operatorname{Im} z = \frac{z-\overline{z}}{2\mathbf{i}}\), mi sembra strano che l'integrando risulti olomorfo...

[M.lle Palomar]

azz..hai ragione, perchè dipende dal coniugato!
Ho appena iniziato a vedere analisi complessa e non avevo proprio pensato a decomporre Im(z), grazie mille sai

[dissonance]

E dopo aver decomposto $Im z$ come fai a calcolare l'integrale?

[M.lle Palomar]

Parametrizzi $gamma_1 e gamma_2$ e integri normalmente.
Lungo il "diametro" $gamma_1$ l'integrale è nullo in quanto l'integranda è dispari;
Lngo $gamma_2$ integri sull'angolo e alla fine dovrebbe venire $-pi/2$.

[dissonance]

Ah ok. Quindi non usi la formula di Cauchy. Il titolo mi aveva confuso.

[M.lle Palomar]

L'avrei usata se non fosse che non mi sono accorta che f1 def sopra non è olomorfa