Spazio delle misure complesse

[mauri54]

Ciao a tutti.
avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio.

Es. Sia $ (X,\mathcal{M}) $ uno spazio misurabile dove $ X $ è l'insieme in questione e $ \mathcal{M} $ è la $ \sigma $ -algebra associata.
Indichiamo con $ M^{\mathbb{K}}(X,\mathcal{M}) $ l'insieme delle misure complesse a valori in $ \mathbb{K} $.
Tale spazio risulta uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $.

E' vero che $ M^{\mathbb{K}}(X,\mathcal{M}) $ ha dimensione finita $ \iff $ $ X $ è finito ??

Sono scorrette tutte e due le frecce? Qualora fosse falso avete in mente un controesempio?

Grazie mille
Mauri

[Luca.Lussardi]

Senza pretesa di rigore, ci ho pensato solo 1 minuto, vedi tu se dico stupidate: mi sembra che se $X$ e' finito allora quello spazio ha dimensione finita, di fatto mi pare che la generica misura sia una combinazione di delte di Dirac. Viceversa, se prendi $X$ infinito a occhio dovresti poter fare una combinazione arbitraria di delte di Dirac indipendenti tra loro, quindi la dimensione non dovrebbe essere finita.

[dissonance]

Sono d'accordo con Luca sulla sostanza dell'esercizio. Ho una domanda che è più che altro una curiosità:

misure complesse a valori in $ \mathbb{K} $.

Se sono complesse, sono già a valori in $CC$, no?

[mauri54]

Senza pretesa di rigore, ci ho pensato solo 1 minuto, vedi tu se dico stupidate: mi sembra che se $X$ e' finito allora quello spazio ha dimensione finita, di fatto mi pare che la generica misura sia una combinazione di delte di Dirac. Viceversa, se prendi $X$ infinito a occhio dovresti poter fare una combinazione arbitraria di delte di Dirac indipendenti tra loro, quindi la dimensione non dovrebbe essere finita.

Ciao Luca. Grazie della risposta.
C'ho pensato un po' ma continuava a non quadrarmi.
Sicuramente la freccia da sinistra verso destra funziona perché se X è finito allora lo spazio vettoriale delle misure è finito e in particolare ha dimensione finita.
Viceversa, se considero come sigma algebra $ \mathcal{M}=\{O/ ,X\} $ con $ X $ un insieme infinito allora lo spazio delle misure a valori in $ \mathbb{K} $ (dove $ \mathbb{K}=\mathbb{R,\mathbb{C} $ ) ha dimensione 1 come $ \mathbb{K} $ -spazio vettoriale. E quindi è falsa.

[mauri54]

Sono d'accordo con Luca sulla sostanza dell'esercizio. Ho una domanda che è più che altro una curiosità:

misure complesse a valori in $ \mathbb{K} $.

Se sono complesse, sono già a valori in $CC$, no?

Ciao dissonance, grazie della risposta!
Ho sbagliato a scrivere. Siccome per me $ \mathbb{K} $ è $ \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $ ragionavo direttamente per misure complesse ma poi ho scritto $ \mathbb{K} $

[Luca.Lussardi]

si, forse hai ragione, implicitamente pensavo al caso $X$ almeno topologico con la sigma algebra di Borel, chiaramente invece se prendi una sigma algebra troppo povera le cose cambiano.

[dissonance]

Secondo me la domanda da porsi è un'altra. È vero che $M(X)$ ha dimensione finita se e solo se $\mathcal M$ è finito?

[mauri54]

Ciao Luca. Grazie della risposta.
C'ho pensato un po' ma continuava a non quadrarmi.
Sicuramente la freccia da sinistra verso destra funziona perché se X è finito allora lo spazio vettoriale delle misure è finito e in particolare ha dimensione finita.
Viceversa, se considero come sigma algebra $ \mathcal{M}=\{O/ ,X\} $ con $ X $ un insieme infinito allora lo spazio delle misure a valori in $ \mathbb{K} $ (dove $ \mathbb{K}=\mathbb{R,\mathbb{C} $ ) ha dimensione 1 come $ \mathbb{K} $ -spazio vettoriale. E quindi è falsa.

Perdonatemi, ho detto una cavolata. Lo spazio delle misure non è finito. Però ha cardinalità al più quella di $ \mathbb{K} $ ma non riesco a dire che è isomorfo come $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale a $ \mathbb{K} $ stesso. Non riesco a giustificare che ha dimensione finita...Vi torna?
La giustificazione che diceva inizialmente Luca manca di un'assunzione secondo me (se l'ho intesa bene). Cioè, immagino che lui intendesse che siccome X è finito allora posso prendere la delta di Dirac relativa ad ogni singolo punto di X e, siccome sono linearmente indipendenti ,allora quella è una base. Giusto? Ho interpretato male?

Il problema è che dati $ x_1\ne x_2 $ in X, per avere che due delta di Dirac $ \delta_{x_1}, \delta_{x_2} $ sono linearmente indipendenti è necessario che esista un insieme $ E\in\mathcal{M} $ tale che $ x_1\inE $ e $ x_2\notinE $. Altrimenti direi che non riesci a dimostrare che lo siano.

[dissonance]

Ma no, avevi ragione. Una delta di Dirac concentrata in $x\in X$ è misurabile se e solo se il singoletto \(\{x\}\) è misurabile.

Ripeto: la domanda corretta è quella che dicevo nel mio post precedente.

[mauri54]

Ma no, avevi ragione. Una delta di Dirac concentrata in $x\in X$ è misurabile se e solo se il singoletto \(\{x\}\) è misurabile.

Ripeto: la domanda corretta è quella che dicevo nel mio post precedente.

Intanto vi ringrazio per le risposte.
In realtà non basta la condizione che ho messo io? A priori nessuno mi dice che i singoletti stiano tutti nella sigma algebra.
La tua domanda non è equivalente alla mia? Essendo la sigma algebra un sottoinsieme delle parti è anch'essa finita.
L'esercizio mi è stato dato dalla prof.
Forse sbaglio ma non sto capendo dove.