Sulle dispense del mio professore l'enunciato del Teorema di Abel è questo:
Se una serie di potenze $ sum_(n=0) c_n(z-a)^n $ è convergente in un punto $z_0 , (z_0!=a)$,
allora è uniformemente e assolutamente convergente in ogni disco di centro a e raggio $rho<|z_0-a|$
La dimostrazione fornita è leggermente cripitica per i miei gusti ( alias non la comprendo completamente )
A livello teorico io procederei così ( ho vaghi ricordi sulla teoria delle successioni e serie e perdonatemi se le sparo grosse ):
convergente sse è di cauchy ovvero:
$ AA epsi>0 , EEp>=0 $ tale che
(1) $|sum_p^(p+q)c_n(z-a)^n |=|sum_p^(p+q)c_n(z_0-a)^n((z-a)/(z_0-a))^n |<=sum_p^(p+q)|c_n(z_0-a)^n| |((z-a)/(z_0-a))^n| < epsi$
$AAq>=0 AA z in B(a,rho)$
quindi di cauchy su un compatto => la serie converge uniformente
per la convergenza assoluta? qualche idea?
Perchè io riuscirei a dimostrare la convergenza della serie $sum_(n=0)|c_n(z_0-a)^n|$ ma non saprei come estenderla ai punti del disco $B(a,rho)$.
Insomma non ci vedo molto chiaro, se qualcuno puo' illuminarmi
Grazie mille in anticipo!
