Equazione differenziale lineare e Trasf. di Laplace

[AndrewA]

Ciao a tutti!
Vorrei chiedervi se è giusta la seguente risoluzione del Problema di Cauchy

$y''(t)+3y'(t)+2y(t) = f(t)$ ,ove $f(t) ={(t,if 0<=t<=1),(0,if 1<t):} }$ con condizioni iniziali $y(0)=0=y'(0)$.

Svolgimento:
denotata con $F(p)$ la trasformata di $y$ in $p$ e riscritta f come $f(t)=t+(1-t)H(t-1)$ con H la funzione di Heaviside, applico l'operatore di Trasformazione ad entrambi i membri dell'equazione ottenendo

$F(p) = (1-e^(-p))/(p^2(p+1)(p+2))$ con $Re(p)>0$ (ho usato le condizioni iniziali nel calcolo delle trasformate di y).

Ora $F(p) = 1/((p+1)(p+2))(1/p^2-e^(-p)/p^2) = L[e^(-t)](p)L[e^(-2t)](p)(L[t](p)-L[t-1](p)) =
L[e^(-t)#e^(-2t)](p)L[H](p)$
, denotato con # il prodotto convolutorio; poichè (scusate se salto i passaggi)

$e^(-t)#e^(-2t) = e^t-e^(-2t)$ segue che $F(p) = L[(e^t-e^(-2t))#H(t)](p) = L[e^t+1/2e^(-2t)-3/2](p)$ per ogni p per cui $Re(p)>0$.

Pertanto $y(t) = e^t+1/2e^(-2t)-3/2$ per ogni $t>=0$.

[gugo82]

A naso, direi che non è la soluzione giusta, perché essa è $C^oo$ mentre il secondo membro della ODE non è nemmeno continuo... Provo a rifare i conti e ti dico.

[gugo82]

Allora.

Ho risolto tutto con metodi classici, perché mi rompevo le scatole di usare le trasformate.
Consideriamo il PdC:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (t) + 3 y^\prime (t) + 2y(t) = t &\text{, per } 0<t<1\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
(che si ottiene osservando solo ciò che accade in \([0,1]\)); esso ha soluzione:
\[
y(t) = e^{-t} -\frac{1}{4} e^{-2t} + \frac{1}{2} t - \frac{3}{4}
\]
e tale soluzione non si ottiene da quella che hai riportato sopra restringendola a $[0,1]$. Ergo hai fatto qualche errore di calcolo (probabilmente).

[AndrewA]

In effetti ho sbagliato ad usare le regole di trasformazione.

Comunque ho risolto scrivendo $F(p)$ come somma di fratti semplici e trovando così le antitrasformate dei vari addendi, evitando inoltre il prodotto di convoluzione.

Grazie ancora della disponibilità!